В шар вписана правильная четырёхугольная пирамида SABCD, сторона основания которой равна 2√2 см, а высота — 4 см. Найдите радиус шара. В ответ укажите радиус, умноженный на 2.

Пошаговое решение:

• Шаг 1: Найдем радиус описанной окружности основания пирамиды.

  Основание пирамиды – квадрат со стороной \( a = 2\sqrt{2} \) см. Радиус описанной окружности квадрата равен половине диагонали квадрата.

  Диагональ квадрата: \( d = a\sqrt{2} = 2\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 2 \cdot 2 = 4 \) см.

  Радиус описанной окружности: \( r = \frac{d}{2} = \frac{4}{2} = 2 \) см.

• Шаг 2: Найдем радиус шара.

  Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды (H), радиусом описанной окружности основания (r) и радиусом шара (R). Центр шара лежит на высоте пирамиды.

  Пусть O – центр шара, тогда расстояние от центра шара до основания пирамиды равно \( |H - R| = |4 - R| \).

  По теореме Пифагора: \( R^2 = r^2 + (H - R)^2 \)

  Подставляем известные значения: \( R^2 = 2^2 + (4 - R)^2 \)

  Упрощаем уравнение: \( R^2 = 4 + 16 - 8R + R^2 \)

  \( 0 = 20 - 8R \)

  \( 8R = 20 \)

  \( R = \frac{20}{8} = \frac{5}{2} = 2.5 \) см.

• Шаг 3: Умножаем радиус на 2.

  В ответе нужно указать радиус, умноженный на 2: \( 2 \cdot R = 2 \cdot 2.5 = 5 \)

Ответ: 5