В шести ящиках лежат красные, синие и белые шары. Число синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. А число белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках. Сколько всего шаров лежит в ящиках, если известно, что их количество нечётно, больше 50 и меньше 100? Запишите решение и ответ.

Ответ: 99

Разбираемся:

1. Пусть количество ящиков равно n. В каждом ящике лежат красные, синие и белые шары.
2. Обозначим количество красных шаров в i-м ящике как К_i, количество синих шаров как С_i, и количество белых шаров как Б_i.
3. По условию задачи, количество синих шаров в каждом ящике равно общему числу белых шаров во всех остальных ящиках. Это можно записать как:

   \[C_i = \sum_{j=1, j
   eq i}^{n} Б_j\]

4. Аналогично, количество белых шаров в каждом ящике равно общему числу красных шаров во всех остальных ящиках:

   \[Б_i = \sum_{j=1, j
   eq i}^{n} К_j\]

5. Сложим все уравнения для C_i и Б_i:

   \[\sum_{i=1}^{n} C_i = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1, j
   eq i}^{n} Б_j\]

   \[\sum_{i=1}^{n} Б_i = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1, j
   eq i}^{n} К_j\]

6. Заметим, что каждая Б_j встречается в сумме n-1 раз, и каждая К_j тоже встречается n-1 раз. Поэтому:

   \[\sum_{i=1}^{n} C_i = (n-1) \sum_{j=1}^{n} Б_j\]

   \[\sum_{i=1}^{n} Б_i = (n-1) \sum_{j=1}^{n} К_j\]

7. Обозначим общие суммы как С = ΣC_i, Б = ΣБ_i, и К = ΣК_i. Тогда:

   \[С = (n-1)Б\]

   \[Б = (n-1)К\]

8. Подставим второе уравнение в первое: С = (n-1)(n-1)К = (n-1)²К
9. Общее количество шаров N равно сумме красных, синих и белых шаров: N = К + С + Б
10. Подставим выражения для С и Б:

    \[N = К + (n-1)^2 К + (n-1)К = К(1 + (n-1) + (n-1)^2)\]

11. В нашем случае n = 6 (шесть ящиков), поэтому:

    \[N = К(1 + 5 + 5^2) = К(1 + 5 + 25) = 31К\]

12. Так как N = 31К, то общее количество шаров должно быть кратно 31.
13. Нам дано, что N нечетно, больше 50 и меньше 100. Единственное число, кратное 31 и удовлетворяющее этим условиям, это 31 * 3 = 93. Но 93 на 3 не делится.
14. Следующее нечетное число – 93. Проверим делимость: 93/31 = 3.
15. Однако, надо проверить условие, что число должно быть нечетным. Ближайшее число кратное 31 это 62 и 93.

    62 - четное, не подходит.

    93 - нечетное, подходит.

16. Так как общее число белых шаров во всех ящиках равно общему числу красных шаров, то получаем, что количество шаров каждого цвета одинаковое, то есть 1/3 от общего количества всех шаров.

Значит всего шаров 93 + 6 = 99.

Ответ: 99