В шестиугольнике $$NPQRST$$ диагональ $$NR$$ параллельна сторонам $$PQ$$ и $$ST$$. Известны величины четырёх углов шестиугольника: $$\angle NPQ = \angle NTS = 108^\circ$$, $$\angle RST = 135^\circ$$, Найти величины двух оставшихся углов. $$\angle PNT = $$ ____°, $$\angle QRS = $$ ____°

Рассмотрим шестиугольник $$NPQRST$$. Сумма углов выпуклого шестиугольника равна $$(6-2) \cdot 180^\circ = 4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$$.

Из условия задачи $$\angle NPQ = \angle NTS = 108^\circ$$, $$\angle RST = 135^\circ$$. Пусть $$\angle PNT = x$$, $$\angle QRS = y$$. Тогда $$\angle PQR + \angle TNR = 720^\circ - 108^\circ - 108^\circ - 135^\circ - x - y = 369^\circ - x - y$$.

Так как $$NR \parallel PQ$$ и $$NR \parallel ST$$, то $$PQ \parallel ST$$. Следовательно, $$NPQRST$$ - трапеция, у которой $$PQ \parallel ST$$.

$$\angle NPQ = \angle NTS = 108^\circ$$. Тогда углы $$\angle P$$ и $$\angle T$$ - внутренние односторонние при параллельных прямых $$PQ$$ и $$ST$$ и секущих $$NP$$ и $$NT$$ соответственно. Значит, $$\angle P + \angle N = 180^\circ$$ и $$\angle T + \angle N = 180^\circ$$.

Сумма углов шестиугольника: $$\angle N + \angle P + \angle Q + \angle R + \angle S + \angle T = 720^\circ$$. Подставим известные углы: $$\angle PNT + \angle NPQ + \angle PQR + \angle QRS + \angle RST + \angle STN = 720^\circ$$.

$$\angle PNT + 108^\circ + \angle PQR + \angle QRS + 135^\circ + 108^\circ = 720^\circ$$

$$\angle PNT + \angle PQR + \angle QRS = 720^\circ - 108^\circ - 135^\circ - 108^\circ = 369^\circ$$

$$\angle PNT = x$$, $$\angle QRS = y$$. Тогда $$x + \angle PQR + y = 369^\circ$$

$$\angle PQR = 369^\circ - x - y$$

Рассмотрим четырехугольник $$NPQR$$. Сумма углов четырехугольника равна $$360^\circ$$.

$$\angle PNT + \angle NPQ + \angle PQR + \angle QRS = 360^\circ$$

$$x + 108^\circ + \angle PQR + y = 360^\circ$$

$$\angle PQR = 360^\circ - 108^\circ - x - y = 252^\circ - x - y$$

$$\angle RST = 135^\circ$$. Тогда внешний угол при вершине $$R$$ равен $$180^\circ - 135^\circ = 45^\circ$$

$$\angle TNR = 135^\circ$$. Тогда внешний угол при вершине $$N$$ равен $$180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

Так как $$NR \parallel PQ$$ и $$NR \parallel ST$$, то внутренние односторонние углы при параллельных прямых и секущей равны $$180^\circ$$.

$$\angle NPQ + \angle PNR = 180^\circ$$

$$\angle PNR = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

$$\angle STN + \angle TNR = 180^\circ$$

$$\angle TNR = 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ$$

$$\angle PNT = 72^\circ$$, $$\angle QRS = 99^\circ$$.

Ответ: $$\angle PNT = 72^\circ$$, $$\angle QRS = 99^\circ$$.