3. В шестиугольной призме ABCDEF A1B1C1D1E1F1 все рёбра равны 15. Найди тангенс угла F1CC1.

Рассмотрим шестиугольную призму ABCDEFA₁B₁C₁D₁E₁F₁. Все рёбра призмы равны 15. Необходимо найти тангенс угла F₁CC₁.

Для решения задачи построим изображение призмы и укажем на ней необходимые элементы.

      E1----------D1
     /|         /|
    / |        / |
   F1--|-------C1--|
   |  A1--------|B1
   | /         | /
   |/          |/ 
   F-----------C
  /|          /|
 / |         / |
 A--|--------B--|
 |  E---------|D
 | /          |/
 |/           |/

1. Тангенс угла F₁CC₁ - это отношение противолежащего катета к прилежащему в прямоугольном треугольнике F₁CC₁.
2. CC₁ является ребром призмы, следовательно, CC₁ = 15.
3. Чтобы найти F₁C, необходимо рассмотреть нижнее основание призмы - правильный шестиугольник ABCDEF.
4. Расстояние между вершинами F и C в правильном шестиугольнике ABCDEF равно удвоенной высоте равностороннего треугольника со стороной, равной ребру шестиугольника.
5. Высота равностороннего треугольника находится по формуле: $$h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$$, где a - сторона треугольника.
6. В нашем случае a = 15, значит, $$h = \frac{15\sqrt{3}}{2}$$.
7. Тогда F₁C = 2h = $$15\sqrt{3}$$.
8. Теперь можно найти тангенс угла F₁CC₁: $$tg(\angle F_1CC_1) = \frac{F_1C}{CC_1} = \frac{15\sqrt{3}}{15} = \sqrt{3}$$.

Ответ: $$\sqrt{3}$$