В школьном конкурсе чтецов 10 участников: трое из 5 класса, четверо из 6 класса и трое из 7 класса. Порядок выступлений определяется жребием. Какова вероятность того, что первым и последним будут выступать пятиклассники?

Всего участников 10, из них пятиклассников 3. Нужно найти вероятность, что первым и последним будут выступать пятиклассники.

Найдем общее количество способов расставить 10 участников. Это количество перестановок из 10 элементов, то есть $$10!$$.

Теперь найдем количество способов, когда первым и последним выступают пятиклассники. Первого пятиклассника можно выбрать 3 способами, последнего - 2 способами (так как один уже выбран). Остальных 8 участников можно расставить $$8!$$ способами. Получаем $$3 \cdot 2 \cdot 8!$$

Вероятность того, что первым и последним будут выступать пятиклассники, равна отношению количества благоприятных исходов к общему количеству исходов:

$$ P = \frac{3 \cdot 2 \cdot 8!}{10!} = \frac{3 \cdot 2 \cdot 8!}{10 \cdot 9 \cdot 8!} = \frac{3 \cdot 2}{10 \cdot 9} = \frac{6}{90} = \frac{1}{15} $$

Ответ: 1/15