В системе, изображённой на рисунке, массы грузов m₁ = 550 г и m₂ = 600 г. Определите массу однородной доски М, если известно, что доска находится в горизонтальном положении. Ответ дайте в г, округлив до целого числа. Нити невесомые, трением в оси блока пренебрегите.

Решение:

Для того чтобы доска находилась в горизонтальном положении, система должна быть в равновесии. Это означает, что сумма моментов сил, действующих на доску, относительно точки опоры (оси блока) должна быть равна нулю.

На рисунке видно, что масса \( m_1 \) подвешена на расстоянии \( x_1 \) от точки опоры, а масса \( m_2 \) подвешена на расстоянии \( x_2 \) от точки опоры. Масса доски \( M \) равномерно распределена, поэтому её центр тяжести находится посередине доски. На рисунке доска разделена на 4 равные части, и масса \( M \) указана на последней четверти доски. Если предположить, что точка опоры находится на первой четверти доски, то центр тяжести доски \( M \) будет находиться на расстоянии \( 3x \) от точки опоры, где \( x \) - длина одной четверти доски.

Однако, согласно рисунку, масса \( m_1 \) находится на первой части доски, а масса \( M \) на последней. Масса \( m_2 \) подвешена к блоку. Для равновесия доски, действующие на неё силы должны уравновешиваться.

Давайте проанализируем силы, действующие на доску:

1. Сила тяжести \( F_{g1} = m_1 g \) (действует вниз на расстоянии \( x_1 \) от опоры).
2. Сила тяжести \( F_{GM} = Mg \) (действует вниз в центре тяжести доски, на расстоянии \( x_M \) от опоры).
3. Сила натяжения нити, к которой подвешена \( m_2 \). Так как блок идеальный и невесомый, сила натяжения нити равна \( T = m_2 g \). Эта сила действует вниз на расстоянии \( x_2 \) от опоры (через блок).
4. Реакция опоры, которая уравновешивает сумму всех сил, действующих вниз.

Условие равновесия (сумма моментов сил относительно точки опоры равна нулю):

\( m_1 g x_1 + Mg x_M = m_2 g x_2 \)

Из рисунка видно, что:

• \( m_1 = 550 \) г
• \( m_2 = 600 \) г
• Доска разделена на 4 равные части. Опора находится в начале доски.
• Масса \( m_1 \) подвешена на первой четверти доски. Примем длину четверти доски за \( L \). Тогда \( x_1 = L \).
• Масса \( m_2 \) подвешена через блок. Направление действия силы \( m_2 g \) создает момент против часовой стрелки. В условии сказано, что нити невесомые и трением в оси блока пренебречь. Если \( m_2 \) подвешена к концу доски, то \( x_2 = 4L \). Но на рисунке \( m_2 \) подвешена к блоку, который расположен над центром доски. Поэтому важно понять, как \( m_2 \) влияет на доску.
• Масса доски \( M \) равномерно распределена. Её центр тяжести находится посередине доски, то есть на \( 2L \) от опоры.
• Масса \( m_1 \) создает момент по часовой стрелке.
• Масса \( m_2 \) через блок создает момент против часовой стрелки.
• Масса \( M \) создает момент по часовой стрелке.

Давайте переосмыслим силы, действующие на доску. Опора находится слева. \( m_1 \) висит на первой четверти. \( M \) — это сама доска, равномерно распределенная. \( m_2 \) висит на блоке. Для равновесия в горизонтальном положении:

Момент от \( m_1 \) (по часовой стрелке) + момент от \( M \) (по часовой стрелке) = Момент от \( m_2 \) (против часовой стрелки).

Пусть \( L \) - длина одной четверти доски. Тогда:

• Расстояние до \( m_1 \): \( x_1 = L \)
• Расстояние до центра тяжести доски \( M \): \( x_M = 2L \)
• Расстояние до \( m_2 \) (если бы она была подвешена к концу доски): \( x_2 = 4L \). Но \( m_2 \) подвешена к блоку, а блок расположен над центром доски, если доска горизонтальна. Это означает, что сила, действующая на доску через блок, связана с \( m_2 \). Если блок находится над серединой доски, то \( x_2 = 2L \).

Предположение: Блок находится над серединой доски, поэтому точка приложения силы от \( m_2 \) к доске находится на расстоянии \( 2L \) от опоры. Сила, действующая вниз, равна \( m_2 g \).

Уравнение моментов:

\( m_1 g x_1 + Mg x_M = m_2 g x_2 \)

\( m_1 g L + Mg (2L) = m_2 g (2L) \)

Разделим на \( gL \) (поскольку \( g \) и \( L \) не равны нулю):

\( m_1 + 2M = 2m_2 \)

Теперь подставим известные значения масс:

\( 550 \text{ г} + 2M = 2 \times 600 \text{ г} \)

\( 550 + 2M = 1200 \)

\( 2M = 1200 - 550 \)

\( 2M = 650 \)

\( M = \frac{650}{2} \)

\( M = 325 \text{ г} \)

Проверка:

Левая сторона: \( 550 + 2 \times 325 = 550 + 650 = 1200 \)

Правая сторона: \( 2 \times 600 = 1200 \)

Моменты равны. Доска в равновесии.

Округляем до целого числа: 325 г.

Важно: В условии сказано, что доска однородная. Если бы масса \( M \) была сосредоточена в одной точке, а не распределена, то было бы другое условие. Но поскольку доска однородная, её центр тяжести находится посередине.

Другое возможное толкование рисунка:

Если \( m_1 \) находится на расстоянии \( x_1 \) от опоры, \( M \) находится на расстоянии \( x_M \) от опоры, а \( m_2 \) также создает момент. Судя по рисунку, \( m_1 \) находится ближе к опоре, чем \( M \). Если предположить, что \( m_1 \) находится ровно на первой четверти, \( M \) — на последней четверти, а \( m_2 \) — где-то еще.

Пересмотрим рисунок:

Опора слева. Доска делится на 4 части. \( m_1 \) висит на первой части. \( M \) — это масса всей доски. Блок с \( m_2 \) висит над центром доски (над второй четвертью).

Расстояния от опоры:

• \( m_1 \): \( x_1 = L \) (первая четверть)
• \( m_2 \): \( x_2 = 2L \) (центр доски, где висит блок)
• \( M \) (центр тяжести однородной доски): \( x_M = 2L \)

Уравнение моментов:

\( m_1 g x_1 + Mg x_M = m_2 g x_2 \)

\( 550 \times L + M \times (2L) = 600 \times (2L) \)

Разделим на \( L \):

\( 550 + 2M = 1200 \)

\( 2M = 1200 - 550 \)

\( 2M = 650 \)

\( M = 325 \text{ г} \)

Еще одно толкование:

Если \( m_1 \) подвешена на \( L \) от опоры, \( m_2 \) создает момент, и \( M \) — это масса всей доски, центр тяжести которой на \( 2L \). На рисунке \( M \) подписано на последней четверти. Это может означать, что это *дополнительная* масса \( M \) на доске, а не масса самой доски. Но в условии написано "массу однородной доски \( M \)". Это значит, что \( M \) - это масса самой доски.

Если \( M \) - масса доски, и она однородная, центр тяжести на \( 2L \). Если \( m_1 \) на \( L \), а \( m_2 \) (через блок) на \( 2L \).

Рассмотрим другой вариант:

Если \( m_1 \) на \( L \) от опоры. \( m_2 \) создает момент. \( M \) - это масса самой доски. Если \( M \) подписано на последней четверти, это может быть неправильное обозначение, и \( M \) должна быть равномерно распределена.

Предположим, что \( m_1 \) находится на расстоянии \( x_1 \) от опоры, \( m_2 \) на расстоянии \( x_2 \) от опоры, а центр тяжести доски \( M \) на расстоянии \( x_M \) от опоры.

На рисунке:

• \( m_1 \) подвешена на 1-й четверти. \( x_1 = L \)
• \( m_2 \) подвешена к блоку. Блок расположен над 2-й четвертью. \( x_2 = 2L \)
• \( M \) - масса доски. Центр тяжести на \( 2L \) от опоры. \( x_M = 2L \)

\( m_1 g x_1 + Mg x_M = m_2 g x_2 \)

\( 550 \times L + M \times 2L = 600 \times 2L \)

\( 550 + 2M = 1200 \)

\( 2M = 650 \)

\( M = 325 \text{ г} \)

Последняя проверка:

Если \( m_1 \) на \( L \), \( M \) на \( 2L \) (центр тяжести доски), \( m_2 \) на \( 2L \) (сила через блок).

Момент по часовой стрелке = \( m_1 g L + Mg (2L) = (550 + 2M) g L \)

Момент против часовой стрелки = \( m_2 g (2L) = 600 g (2L) = 1200 g L \)

\( (550 + 2M) g L = 1200 g L \)

\( 550 + 2M = 1200 \)

\( 2M = 650 \)

\( M = 325 \text{ г} \)

Если предположить, что \( M \) — это сосредоточенная масса, подвешенная на последней четверти, тогда:

\( m_1 g L + Mg (4L) = m_2 g (2L) \)

\( 550 \times L + M \times 4L = 600 \times 2L \)

\( 550 + 4M = 1200 \)

\( 4M = 1200 - 550 \)

\( 4M = 650 \)

\( M = \frac{650}{4} = 162.5 \text{ г} \)

Учитывая, что доска однородная, и \( M \) — это масса всей доски, первый вариант ( \( M = 325 \text{ г} \) ) более вероятен, так как \( M \) обычно обозначает общую массу, а центр тяжести однородного тела находится посередине.

Финальное решение:

Пусть \( L \) - длина одной четверти доски.

Точка опоры: начало доски.

Силы, создающие момент по часовой стрелке:

• Сила тяжести \( m_1 g \) на расстоянии \( x_1 = L \).
• Сила тяжести \( Mg \) (доски) действует в центре тяжести, на расстоянии \( x_M = 2L \).

Сила, создающая момент против часовой стрелки:

• Сила тяжести \( m_2 g \) действует через блок, расположенный над центром доски, на расстоянии \( x_2 = 2L \).

Условие равновесия:

\( m_1 g x_1 + Mg x_M = m_2 g x_2 \)

\( m_1 g L + Mg (2L) = m_2 g (2L) \)

Сокращаем \( gL \) из всех членов:

\( m_1 + 2M = 2m_2 \)

Подставляем значения масс:

\( 550 \text{ г} + 2M = 2 \times 600 \text{ г} \)

\( 550 + 2M = 1200 \)

\( 2M = 1200 - 550 \)

\( 2M = 650 \)

\( M = \frac{650}{2} \)

\( M = 325 \text{ г} \)

Округляем до целого числа: 325 г.

Ответ: 325 г.