В системе координат изобрази три точки А (3; -2), В (-4; 1) и С (5; 6), которые являются вершинами треугольника. а) начерти этот треугольник; б) определи координаты точки пересечения сторон треугольника с осью ординат; в) координаты точки пересечения с осью абсцисс.

б) Точки пересечения сторон треугольника с осью ординат (осью Y)

Ось ординат — это прямая \( x = 0 \). Нам нужно найти точки, где стороны треугольника пересекают эту прямую.

1. Сторона AB:

Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(3; -2) \) и \( B(-4; 1) \):

\( \frac{y - y_A}{y_B - y_A} = \frac{x - x_A}{x_B - x_A} \)

\( \frac{y - (-2)}{1 - (-2)} = \frac{x - 3}{-4 - 3} \)

\( \frac{y + 2}{3} = \frac{x - 3}{-7} \)

\( -7(y + 2) = 3(x - 3) \)

\( -7y - 14 = 3x - 9 \)

\( -7y = 3x + 5 \)

\( y = -\frac{3}{7}x - \frac{5}{7} \)

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \):

\( y = -\frac{3}{7}(0) - \frac{5}{7} = -\frac{5}{7} \)

Точка пересечения: \( P_1 (0; -\frac{5}{7}) \).

2. Сторона BC:

Уравнение прямой, проходящей через точки \( B(-4; 1) \) и \( C(5; 6) \):

\( \frac{y - y_B}{y_C - y_B} = \frac{x - x_B}{x_C - x_B} \)

\( \frac{y - 1}{6 - 1} = \frac{x - (-4)}{5 - (-4)} \)

\( \frac{y - 1}{5} = \frac{x + 4}{9} \)

\( 9(y - 1) = 5(x + 4) \)

\( 9y - 9 = 5x + 20 \)

\( 9y = 5x + 29 \)

\( y = \frac{5}{9}x + \frac{29}{9} \)

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \):

\( y = \frac{5}{9}(0) + \frac{29}{9} = \frac{29}{9} \)

Точка пересечения: \( P_2 (0; \frac{29}{9}) \).

3. Сторона AC:

Уравнение прямой, проходящей через точки \( A(3; -2) \) и \( C(5; 6) \):

\( \frac{y - y_A}{y_C - y_A} = \frac{x - x_A}{x_C - x_A} \)

\( \frac{y - (-2)}{6 - (-2)} = \frac{x - 3}{5 - 3} \)

\( \frac{y + 2}{8} = \frac{x - 3}{2} \)

\( 2(y + 2) = 8(x - 3) \)

\( 2y + 4 = 8x - 24 \)

\( 2y = 8x - 28 \)

\( y = 4x - 14 \)

Чтобы найти точку пересечения с осью Y, подставим \( x = 0 \):

\( y = 4(0) - 14 = -14 \)

Точка пересечения: \( P_3 (0; -14) \).

Ответ б): Координаты точек пересечения сторон треугольника с осью ординат: \( (0; -\frac{5}{7}) \), \( (0; \frac{29}{9}) \), \( (0; -14) \).

в) Координаты точки пересечения сторон треугольника с осью абсцисс (осью X)

Ось абсцисс — это прямая \( y = 0 \). Нам нужно найти точки, где стороны треугольника пересекают эту прямую.

1. Сторона AB:

Уравнение: \( y = -\frac{3}{7}x - \frac{5}{7} \).

Подставим \( y = 0 \):

\( 0 = -\frac{3}{7}x - \frac{5}{7} \)

\( \frac{3}{7}x = -\frac{5}{7} \)

\( 3x = -5 \)

\( x = -\frac{5}{3} \)

Точка пересечения: \( Q_1 (-\frac{5}{3}; 0) \).

2. Сторона BC:

Уравнение: \( y = \frac{5}{9}x + \frac{29}{9} \).

Подставим \( y = 0 \):

\( 0 = \frac{5}{9}x + \frac{29}{9} \)

\( \frac{5}{9}x = -\frac{29}{9} \)

\( 5x = -29 \)

\( x = -\frac{29}{5} \)

Точка пересечения: \( Q_2 (-\frac{29}{5}; 0) \).

3. Сторона AC:

Уравнение: \( y = 4x - 14 \).

Подставим \( y = 0 \):

\( 0 = 4x - 14 \)

\( 4x = 14 \)

\( x = \frac{14}{4} = \frac{7}{2} \)

Точка пересечения: \( Q_3 (\frac{7}{2}; 0) \).

Ответ в): Координаты точек пересечения сторон треугольника с осью абсцисс: \( (-\frac{5}{3}; 0) \), \( (-\frac{29}{5}; 0) \), \( (\frac{7}{2}; 0) \).