В) Сколько существует пар натуральных чисел а и b таких, что 20a + 25b = 2025?

Решение:

Уравнение: \( 20a + 25b = 2025 \). \( a \) и \( b \) - натуральные числа (т.е. \( a ∈ \{1, 2, 3, ...}\) и \( b ∈ \{1, 2, 3, ...}\)).

1. Разделим уравнение на 5, чтобы упростить: \( 4a + 5b = 405 \).
2. Выразим \( a \) через \( b \): \( 4a = 405 - 5b \). \( a = \frac{405 - 5b}{4} = \frac{400 + 5 - 4b - b}{4} = 100 + 1 - b - \frac{b+1}{4} \).
3. Для того чтобы \( a \) было целым числом, \( b+1 \) должно делиться на 4.
4. Пусть \( b+1 = 4k \), где \( k \) - целое число. Тогда \( b = 4k - 1 \).
5. Так как \( b \) - натуральное число, \( b ≥ 1 \).
6. \( 4k - 1 ≥ 1 → 4k ≥ 2 → k ≥ 0.5 \). Так как \( k \) - целое, то \( k ≥ 1 \).
7. Теперь найдем \( a \) в терминах \( k \): \( a = 100 + 1 - (4k - 1) - \frac{4k}{4} = 101 - 4k + 1 - k = 102 - 5k \).
8. Так как \( a \) - натуральное число, \( a ≥ 1 \).
9. \( 102 - 5k ≥ 1 → 101 ≥ 5k → k ≤ \frac{101}{5} → k ≤ 20.2 \).
10. Итак, \( k \) может принимать целые значения от 1 до 20 включительно.
11. Каждому значению \( k \) соответствует уникальная пара \( (a, b) \) натуральных чисел.
12. Количество возможных значений \( k \) равно \( 20 - 1 + 1 = 20 \).

Ответ: 20