В случайном эксперименте симметричную монету бросают трижды. Найдите вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза.

Решение:

При броске симметричной монеты возможны два исхода: орел (О) или решка (Р). Вероятность каждого исхода равна \( P(O) = P(P) = 0.5 \).

Монету бросают трижды. Общее число возможных исходов равно \( 2^3 = 8 \). Перечислим их:

ООО, ООP, ОРО, POO, OPP, POP, PPO, PPP

Нас интересует событие, когда орел выпадет ровно 2 раза. Таких исходов три:

ОРO, POO, OOP

Вероятность каждого из этих исходов равна \( 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 0.125 \).

Так как есть 3 благоприятных исхода, общая вероятность того, что орел выпадет ровно 2 раза, равна:

\( P(\text{ровно 2 орла}) = 3 \times P(O) \times P(O) \times P(P) = 3 \times 0.5 \times 0.5 \times 0.5 = 3 \times 0.125 = 0.375 \)

Также можно использовать формулу Бернулли:

\( P_n(k) = C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k} \), где:

• \( n = 3 \) — количество испытаний (бросков монеты).
• \( k = 2 \) — количество успехов (выпадение орла).
• \( p = 0.5 \) — вероятность успеха (выпадения орла).
• \( q = 0.5 \) — вероятность неудачи (выпадения решки).
• \( C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \) — число сочетаний.

Рассчитаем число сочетаний:

\( C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1) \times 1} = 3 \)

Теперь подставим в формулу Бернулли:

\( P_3(2) = C_3^2 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^{3-2} = 3 \cdot (0.5)^2 \cdot (0.5)^1 = 3 \cdot 0.25 \cdot 0.5 = 3 \cdot 0.125 = 0.375 \)

Ответ: 0.375