1. В солнечный день высота тени от отвесно поставленной метровой линейки равна 50см, а от дерева 6м. Какова высота дерева? 2. Ученик заметил, что палка длиной 1,2 м, поставленная вертикально, отбрасывает тень длиной 0,8 м. А длина тени от дерева в это же время оказалась ровно в 12 раз больше длины палки. Какова высота дерева? 3. На какой высоте находится уличный фонарь, если длина тени, отбрасываемой палкой высотой 1,5м, которая установлена на расстоянии 3м от основания столба, оказалась равной 3м? 4. Отец выше сына на 60 см, а тень отца длиннее тени сына на 90 см. Каков рост сына, если длина его тени 180см? 5.В заборе имеется круглое отверстие диаметром 1см, а за забором напротив отверстия висит яблоко диаметром 12 см. На каком расстоянии от забора должен находиться глаз, чтобы он видел всё яблоко, если расстояние от яблока до забора 1м? 6. Два столбика, имеющие одинаковую высоту 1,2 м поставлены вблизи уличного фонаря так, что расстояние от основания уличного фонаря до оснований столбиков отличаются на 0,8м. При этом тени, отбрасываемые столбиками, отличаются на 0,4м. Найдите высоту, на которую подвешен фонарь.

1. В солнечный день высота дерева

Смотри, тут всё просто: нужно составить пропорцию, чтобы найти высоту дерева.

1. Выразим все величины в одной системе измерения, например, в сантиметрах:
   • Высота тени от линейки: 50 см
   • Высота линейки: 1 м = 100 см
   • Высота тени от дерева: 6 м = 600 см
2. Составим пропорцию: \[\frac{\text{высота линейки}}{\text{тень от линейки}} = \frac{\text{высота дерева}}{\text{тень от дерева}}\] \[\frac{100}{50} = \frac{x}{600}\]
3. Решим пропорцию: \[x = \frac{100 \cdot 600}{50} = 1200 \text{ см}\]
4. Переведем обратно в метры: 1200 см = 12 м.

Ответ: высота дерева равна 12 метров.

2. Высота дерева по тени палки

Логика такая: сначала найдем высоту дерева, используя пропорцию, а затем подставим известные значения.

1. Составим пропорцию: \[\frac{\text{высота палки}}{\text{тень от палки}} = \frac{\text{высота дерева}}{\text{тень от дерева}}\]
2. Выразим длину тени от дерева: \[\text{тень от дерева} = 12 \cdot 1.2 = 9.6 \text{ м}\]
3. Подставим значения в пропорцию: \[\frac{1.2}{0.8} = \frac{x}{9.6}\]
4. Решим пропорцию: \[x = \frac{1.2 \cdot 9.6}{0.8} = 14.4 \text{ м}\]

Ответ: высота дерева равна 14,4 метра.

3. Высота уличного фонаря

Разбираемся: тут нужно использовать подобие треугольников, чтобы найти высоту фонаря.

1. Определим, что столб и его тень образуют один треугольник, а фонарь и общая тень (от фонаря) образуют другой треугольник, подобный первому.
2. Обозначим высоту фонаря как H.
3. Запишем пропорцию на основе подобия треугольников: \[\frac{\text{высота палки}}{\text{тень от палки}} = \frac{\text{высота фонаря}}{\text{расстояние от основания столба + тень от палки}}\] \[\frac{1.5}{3} = \frac{H}{3 + 3}\]
4. Решим пропорцию, чтобы найти H: \[H = \frac{1.5 \cdot (3 + 3)}{3} = \frac{1.5 \cdot 6}{3} = 3 \text{ м}\]

Ответ: высота уличного фонаря равна 3 метра.

4. Рост сына

Давай решим эту задачу: составим систему уравнений, чтобы найти рост сына.

1. Обозначим рост сына как x (в см), тогда рост отца будет x + 60.
2. Обозначим длину тени сына как y (в см), тогда длина тени отца будет y + 90.
3. Составим пропорцию, так как отношение роста к длине тени одинаково для обоих: \[\frac{x}{y} = \frac{x + 60}{y + 90}\]
4. Также знаем, что длина тени сына y = 180 см. Подставим это значение в пропорцию: \[\frac{x}{180} = \frac{x + 60}{180 + 90}\] \[\frac{x}{180} = \frac{x + 60}{270}\]
5. Решим уравнение: \[270x = 180(x + 60)\] \[270x = 180x + 10800\] \[90x = 10800\] \[x = \frac{10800}{90} = 120 \text{ см}\]

Ответ: рост сына равен 120 см.

5. Расстояние от забора до глаза

Смотри, тут всё просто: нужно использовать подобие треугольников для определения расстояния от забора до глаза.

1. Определим два треугольника: один образован отверстием в заборе и глазом, а другой образован яблоком и глазом.
2. Обозначим расстояние от глаза до забора как d.
3. Составим пропорцию на основе подобия треугольников: \[\frac{\text{диаметр отверстия}}{\text{диаметр яблока}} = \frac{\text{расстояние от глаза до забора}}{\text{расстояние от глаза до забора + расстояние от яблока до забора}}\] \[\frac{1}{12} = \frac{d}{d + 100}\]
4. Решим пропорцию, чтобы найти d: \[d + 100 = 12d\] \[11d = 100\] \[d = \frac{100}{11} \approx 9.09 \text{ см}\]

Ответ: расстояние от забора до глаза должно быть примерно 9.09 см.

6. Высота, на которую подвешен фонарь

Давай решим эту задачу: используем подобие треугольников, чтобы найти высоту, на которую подвешен фонарь.

1. Пусть H - высота, на которую подвешен фонарь.
2. Расстояния от основания фонаря до столбиков отличаются на 0.8 м. Обозначим эти расстояния как x и x + 0.8.
3. Длины теней, отбрасываемых столбиками, отличаются на 0.4 м.
4. Составим пропорции, используя подобие треугольников: \[\frac{1.2}{x} = \frac{H}{x + t}\] \[\frac{1.2}{x + 0.8} = \frac{H}{x + 0.8 + t + 0.4}\] где t - длина тени от первого столбика.
5. Выразим H из первого уравнения: \[H = \frac{1.2(x + t)}{x}\]
6. Выразим H из второго уравнения: \[H = \frac{1.2(x + 0.8 + t + 0.4)}{x + 0.8}\]
7. Приравняем оба выражения для H: \[\frac{1.2(x + t)}{x} = \frac{1.2(x + 1.2 + t)}{x + 0.8}\]
8. Разделим обе части на 1.2: \[\frac{x + t}{x} = \frac{x + 1.2 + t}{x + 0.8}\]
9. Перекрестно умножим: \[(x + t)(x + 0.8) = x(x + 1.2 + t)\] \[x^2 + 0.8x + tx + 0.8t = x^2 + 1.2x + tx\]
10. Упростим уравнение: \[0.8x + 0.8t = 1.2x\] \[0.8t = 0.4x\] \[x = 2t\]
11. Подставим x = 2t в первое уравнение: \[H = \frac{1.2(2t + t)}{2t} = \frac{1.2(3t)}{2t} = \frac{3.6t}{2t} = 1.8 \text{ м}\]

Ответ: высота, на которую подвешен фонарь, равна 1.8 метра.

Проверка за 10 секунд: Убедись, что пропорции составлены верно и единицы измерения совпадают.

Доп. профит: База. Подобие треугольников – мощный инструмент для решения задач на пропорции и тени. Всегда ищи подобные треугольники в задачах с тенями и светом!