В соревнованиях по шахматам приняли участие 7 человек. Если всем игрокам пришлось сыграть друг с другом 1 раз, сколько всего игр было сыграно?

Решение:

Чтобы найти общее количество игр, нужно вычислить количество сочетаний из 7 человек по 2, так как каждая игра играется двумя участниками. Это можно сделать по формуле:

\[ C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

Где \( n \) — общее количество человек (7), а \( k \) — количество человек в одной игре (2).

1. Подставляем значения в формулу: \[ C_7^2 = \frac{7!}{2!(7-2)!} = \frac{7!}{2!5!} \]
2. Раскрываем факториалы: \[ \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1)} \]
3. Сокращаем одинаковые множители: \[ \frac{7 \times 6}{2 \times 1} \]
4. Вычисляем: \[ \frac{42}{2} = 21 \]

Альтернативный способ решения:

1. Первый игрок играет с 6 другими.
2. Второй игрок уже сыграл с первым, поэтому ему остаётся сыграть с 5 новыми соперниками.
3. Третий игрок играет с 4 новыми соперниками.
4. Четвёртый игрок играет с 3 новыми соперниками.
5. Пятый игрок играет с 2 новыми соперниками.
6. Шестой игрок играет с 1 новым соперником.
7. Седьмой игрок уже сыграл со всеми.
8. Складываем все игры: \( 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 21 \)

Ответ: 21 игра.