В сосуд, наполненный до краёв водой при температуре to = 19 °С, аккуратно опустили некоторое тело, плотность которого в два раза больше плотности воды, а удельная теплоёмкость в два раза меньше удельной теплоёмкости воды. После установления теплового равновесия температура воды в сосуде стала t₁ = 26°С. До какой величины t₂ повысится температура воды в сосуде, если сразу опустить не одно, а два таких тела? Считай, что тела в экспериментах полностью погружаются в воду. Теплообменом с окружающей средой пренебречь. Ответ вырази в градусах Цельсия и округли до целых.

Решение:

Пусть \( m_1 \) — масса одного тела, \( c_1 \) — удельная теплоёмкость одного тела, \( \rho_1 \) — плотность одного тела.

Пусть \( m_w \) — масса воды, \( c_w \) — удельная теплоёмкость воды, \( \rho_w \) — плотность воды.

Из условия известно, что \( \rho_1 = 2\rho_w \) и \( c_1 = \frac{1}{2}c_w \).

Поскольку тела полностью погружены в воду, их объём \( V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{m_1}{2\rho_w} \).

В первом эксперименте, когда опустили одно тело, теплота, отданная телом, равна теплоте, полученной водой:

\( Q_{отдано} = m_1 c_1 (t_0 - t_1) \) = \( m_1 \frac{c_w}{2} (19 - 26) = -3.5 m_1 c_w \)

\( Q_{получено} = m_w c_w (t_1 - t_0) \) = \( m_w c_w (26 - 19) = 7 m_w c_w \)

Приравниваем теплоты (по модулю, так как \( Q_{отдано} = -Q_{получено} \)):

\( |m_1 c_1 (19 - 26)| = |m_w c_w (26 - 19)| \)

\( m_1 \frac{c_w}{2} \times 7 = m_w c_w \times 7 \)

\( \frac{1}{2} m_1 = m_w \)

\( m_w = \frac{1}{2} m_1 \)

Во втором эксперименте опускают два таких тела. Общая масса тел \( 2m_1 \).

Количество теплоты, отданное двумя телами:

\( Q'_{отдано} = (2m_1) c_1 (t_0 - t_2) = 2m_1 \frac{c_w}{2} (19 - t_2) = m_1 c_w (19 - t_2) \)

Количество теплоты, полученное водой:

\( Q'_{получено} = m_w c_w (t_2 - t_0) = (\frac{1}{2} m_1) c_w (t_2 - 19) \)

Приравниваем теплоты:

\( m_1 c_w (19 - t_2) = \frac{1}{2} m_1 c_w (t_2 - 19) \)

Сокращаем \( m_1 c_w \) (так как \( m_1 > 0 \) и \( c_w > 0 \)):

\( 19 - t_2 = \frac{1}{2} (t_2 - 19) \)

\( 38 - 2t_2 = t_2 - 19 \)

\( 38 + 19 = t_2 + 2t_2 \)

\( 57 = 3t_2 \)

\( t_2 = \frac{57}{3} = 19 \)

Поскольку начальная температура воды \( t_0 = 19^\text{о}С \), а температура тел также \( 19^\text{о}С \), то температура воды не изменится. Однако, в условии сказано, что температура воды стала \( t_1 = 26^\text{о}С \), что означает, что тела отдали тепло воде. Это противоречит начальной температуре \( t_0 = 19^\text{о}С \).

Переосмыслим условие: начальная температура воды \( t_0=19^\text{о}С \). Опустили тело. Установилось равновесие \( t_1=26^\text{о}С \). Это означает, что тело было теплее воды, или теплообмен произошел иначе. Но мы пренебрегаем теплообменом с окружающей средой. Значит, тело было теплее воды. Но если \( t_0 \) — начальная температура воды, а \( t_1 \) — температура равновесия, то вода получила тепло. Если тело отдало тепло, его температура должна быть выше \( 26^\text{о}С \).

Давайте предположим, что \( t_0 \) — это начальная температура и воды, и тел. Затем опускают тело, и температура системы повышается до \( t_1 \).

Тогда, по первому закону термодинамики (или равенству теплот):

\( Q_{отдано телом} = Q_{получено водой} \)

\( m_1 c_1 (t_1 - t_0) = m_w c_w (t_1 - t_0) \)

\( m_1 \frac{c_w}{2} (26 - 19) = m_w c_w (26 - 19) \)

\( m_1 \frac{c_w}{2} \times 7 = m_w c_w \times 7 \)

\( \frac{1}{2} m_1 = m_w \)

\( m_w = \frac{1}{2} m_1 \)

Теперь опускаем два тела. Температура равновесия \( t_2 \).

\( Q'_{отдано телами} = (2m_1) c_1 (t_2 - t_0) = 2m_1 \frac{c_w}{2} (t_2 - 19) = m_1 c_w (t_2 - 19) \)

\( Q'_{получено водой} = m_w c_w (t_2 - t_0) = (\frac{1}{2} m_1) c_w (t_2 - 19) \)

Приравниваем теплоты:

\( m_1 c_w (t_2 - 19) = \frac{1}{2} m_1 c_w (t_2 - 19) \)

Это уравнение даст \( t_2 = 19 \) только если \( m_1 c_w \) не равно нулю. Это не имеет смысла. Здесь произошла ошибка в постановке уравнения.

Правильно должно быть:

\( Q_{отдано телом} = Q_{получено водой} \)

\( m_1 c_1 (t_1 - t_0) = m_w c_w (t_1 - t_0) \) (здесь \( t_1 \) — конечная температура)

\( m_1 \frac{c_w}{2} (26-19) = m_w c_w (26-19) \)

\( 7 m_1 \frac{c_w}{2} = 7 m_w c_w \)

\( \frac{m_1}{2} = m_w \)

Во втором случае:

\( (2m_1) c_1 (t_2 - 19) = m_w c_w (t_2 - 19) \)

\( 2 m_1 \frac{c_w}{2} (t_2 - 19) = \frac{1}{2} m_1 c_w (t_2 - 19) \)

\( m_1 c_w (t_2 - 19) = \frac{1}{2} m_1 c_w (t_2 - 19) \)

Это снова ведет к \( t_2=19 \).

Есть другое возможное толкование:

\( Q_{отдано телом} = - Q_{получено водой} \)

\( m_1 c_1 (t_{тела, нач} - t_1) = m_w c_w (t_1 - t_0) \)

Пусть \( t_{0, вода} = 19^\text{о}С \) и \( t_{0, тело} = T \).

В первом случае:

\( m_1 c_1 (T - 26) = m_w c_w (26 - 19) \)

\( m_1 \frac{c_w}{2} (T - 26) = m_w c_w \times 7 \)

\( \frac{1}{2} m_1 (T - 26) = 7 m_w \)

Во втором случае (два тела):

\( 2m_1 c_1 (T - t_2) = m_w c_w (t_2 - 19) \)

\( 2 m_1 \frac{c_w}{2} (T - t_2) = m_w c_w (t_2 - 19) \)

\( m_1 (T - t_2) = m_w (t_2 - 19) \)

Из первого уравнения: \( m_w = \frac{m_1 (T - 26)}{14} \). Подставляем во второе:

\( m_1 (T - t_2) = \frac{m_1 (T - 26)}{14} (t_2 - 19) \)

\( T - t_2 = \frac{T - 26}{14} (t_2 - 19) \)

\( 14(T - t_2) = (T - 26)(t_2 - 19) \)

\( 14T - 14t_2 = Tt_2 - 19T - 26t_2 + 26 \times 19 \)

\( 14T - 14t_2 = Tt_2 - 19T - 26t_2 + 494 \)

\( 14T + 19T - 494 = Tt_2 - 26t_2 + 14t_2 \)

\( 33T - 494 = t_2 (T - 12) \)

\( t_2 = \frac{33T - 494}{T - 12} \)

Плотность тела в два раза больше плотности воды, \( \rho_1 = 2 \rho_w \). Удельная теплоемкость в два раза меньше, \( c_1 = 0.5 c_w \).

Если тела полностью погружены, то \( m = \rho V \). \( m_1 = \rho_1 V_1 \) и \( m_w = \rho_w V_w \).

\( V_1 = \frac{m_1}{\rho_1} = \frac{m_1}{2 \rho_w} \).

Из \( m_w = \frac{1}{2} m_1 \) следует, что \( \rho_w V_w = \frac{1}{2} \rho_1 V_1 = \frac{1}{2} (2 \rho_w) V_1 = \rho_w V_1 \). Значит, \( V_w = V_1 \).

Это означает, что объём воды равен объёму одного тела.

Тогда \( m_w = \rho_w V_w = \rho_w V_1 \).

\( m_1 = \rho_1 V_1 = 2 \rho_w V_1 \).

Значит, \( m_w = \frac{1}{2} m_1 \) — это верно.

Полагаем, что \( t_0 \) - начальная температура воды, а тела имеют такую же начальную температуру. Но тело отдало тепло, значит оно было теплее. Пусть \( T_{тела} \) — начальная температура тел.

\( m_1 c_1 (T_{тела} - 26) = m_w c_w (26 - 19) \)

\( m_1 \frac{c_w}{2} (T_{тела} - 26) = m_w c_w \times 7 \)

\( \frac{m_1}{2} (T_{тела} - 26) = 7 m_w \)

У нас \( m_w = \frac{m_1}{2} \).

\( \frac{m_1}{2} (T_{тела} - 26) = 7 \frac{m_1}{2} \)

\( T_{тела} - 26 = 7 \)

\( T_{тела} = 33^\text{о}С \)

Итак, начальная температура тел = \( 33^\text{о}С \).

Теперь опускаем два тела. Температура равновесия \( t_2 \).

\( 2 m_1 c_1 (33 - t_2) = m_w c_w (t_2 - 19) \)

\( 2 m_1 \frac{c_w}{2} (33 - t_2) = \frac{m_1}{2} c_w (t_2 - 19) \)

\( m_1 c_w (33 - t_2) = \frac{1}{2} m_1 c_w (t_2 - 19) \)

\( 33 - t_2 = \frac{1}{2} (t_2 - 19) \)

\( 66 - 2t_2 = t_2 - 19 \)

\( 66 + 19 = t_2 + 2t_2 \)

\( 85 = 3t_2 \)

\( t_2 = \frac{85}{3} \text{ °С} \)

\( t_2 \text{ ≈ } 28.33^\text{о}С \)

Округляем до целых: \( 28^\text{о}С \).

Ответ: 28 °C.