В сосуд с вертикальными стенками и площадью дна 50 см2 налиты керосин и вода. Льдинка массой 90 г плавает на границе раздела керосина и воды, полностью погружённая в жидкости. Плотность керосина 0,8 г/см3, плотность воды 1 г/см3, плотность льда 0,9 г/см3. Определите изменение уровня воды после того, как лёд растает. Ответ дайте в сантиметрах, округлив до десятых.

Решение:

1. Найдем объем льда:\[ V_{льда} = \frac{m_{льда}}{\rho_{льда}} = \frac{90 \text{ г}}{0.9 \text{ г/см}^3} = 100 \text{ см}^3 \]
2. Определим, какая часть льда погружена в керосин, а какая в воду.
   Плотность керосина 0.8 г/см³, плотность воды 1 г/см³.
   Так как плотность льда (0.9 г/см³) больше плотности керосина, но меньше плотности воды, лёд будет плавать на границе раздела керосина и воды.
   Объем части льда, погруженной в керосин:
   \[ V_{керосина} = \frac{m_{льда}}{\rho_{керосина}} = \frac{90 \text{ г}}{0.8 \text{ г/см}^3} = 112.5 \text{ см}^3 \]Это неверно, так как объем погруженной части не может быть больше общего объема льда.
   Правильный подход:
   Для определения, какая часть льда погружена в воду, а какая в керосин, нужно учитывать силу Архимеда.
   При плавании льда на границе раздела двух жидкостей, общий вес льда равен сумме выталкивающих сил со стороны обеих жидкостей.
   Пусть V₁ - объем части льда в керосине, V₂ - объем части льда в воде.
   Общий объем льда V_льда = V₁ + V₂ = 100 см³.
   Сила тяжести льда: P = m_льда * g = 90g.
   Выталкивающая сила со стороны керосина: F₁ = \rho_{керосина} * V_{1} * g = 0.8 * V_{1} * g.
   Выталкивающая сила со стороны воды: F₂ = \rho_{воды} * V_{2} * g = 1 * V_{2} * g.
   По условию плавания: P = F₁ + F₂.
   \[ 90g = 0.8 V_{1} g + 1 V_{2} g \]
   Сокращаем g: \[ 90 = 0.8 V_{1} + V_{2} \]
   Так как V₁ + V₂ = 100, то V₂ = 100 - V₁.
   \[ 90 = 0.8 V_{1} + (100 - V_{1}) \]
   \[ 90 = 0.8 V_{1} + 100 - V_{1} \]
   \[ 90 - 100 = 0.8 V_{1} - V_{1} \]
   \[ -10 = -0.2 V_{1} \]
   \[ V_{1} = \frac{-10}{-0.2} = 50 \text{ см}^3 \]Это объем части льда, погруженной в керосин.
   Объем части льда, погруженной в воду: \[ V_{2} = 100 - V_{1} = 100 - 50 = 50 \text{ см}^3 \]
3. Изменение уровня воды.
   Когда лед растает, он превратится в воду. Объем этой воды будет: \[ V_{воды\_из\_льда} = \frac{m_{льда}}{\rho_{воды}} = \frac{90 \text{ г}}{1 \text{ г/см}^3} = 90 \text{ см}^3 \]
4. Сравним объем воды, образовавшейся из льда, с объемом воды, который был вытеснен растаявшим льдом.
   До таяния, объем воды, вытесненный льдом, составлял V₂ = 50 см³ (только та часть, которая была в воде).
   После таяния, дополнительный объем воды в сосуде составит 90 см³.
   Однако, при таянии льда, который плавал на границе двух жидкостей, важно учитывать, что растаявший лед превратится в воду и добавится к общему объему воды. Объем воды, который был вытеснен погруженной в воду частью льда, освободится.
5. Считаем изменение уровня.
   Объем воды, добавленный из растаявшего льда = 90 см³.
   Объем воды, который был вытеснен частью льда, находящейся в воде = 50 см³.
   Общий объем воды, который добавится к первоначальному уровню воды (за вычетом вытесненного объема) = 90 см³ - 50 см³ = 40 см³.
   Это та дополнительная вода, которая поднимет уровень.
   Площадь дна сосуда = 50 см².
   Изменение уровня воды: \[ \Delta h = \frac{\text{Дополнительный объем воды}}{\text{Площадь дна}} = \frac{40 \text{ см}^3}{50 \text{ см}^2} = 0.8 \text{ см} \]

Ответ: 0.8