В сосуд со смесью льда и воды доливают воду массой $$m_в = 40$$ г. После установления теплового равновесия лёд в сосуде остаётся, но его масса уменьшается на $$m_л = 22,8$$ г. Удельная теплота плавления льда $$\lambda = 330$$ кДж/кг, удельная теплоёмкость воды $$c_в = 4200$$ Дж/(кг·°С). Известно, что за время проведения эксперимента растает не весь лёд, находящийся в сосуде. 1. Какое количество теплоты было затрачено на плавление льда? 2. Какова была начальная температура t долитой воды? 3. Каков диапазон возможной начальной температуры долитой воды, если абсолютная погрешность измерения массы льда составляет $$\Delta m_л = 0,2$$ г, а масса долитой воды измерялась с точностью $$\varepsilon=1\%$$ (т. е. могла быть на 1% как больше, так и меньше указанного значения)? Остальные величины известны точно. Решение: Ответ:

1. Количество теплоты, затраченное на плавление льда:

Сначала переведем массу льда из граммов в килограммы:

\[ m_л = 22.8 \text{ г} = 0.0228 \text{ кг} \]

Затем переведем удельную теплоту плавления льда из кДж/кг в Дж/кг:

\[ \lambda = 330 \text{ кДж/кг} = 330000 \text{ Дж/кг} \]

Теперь используем формулу для расчета количества теплоты, необходимого для плавления:

\[ Q = \lambda \cdot m_л \]

\[ Q = 330000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0228 \text{ кг} \]

\[ Q = 7524 \text{ Дж} \]

Ответ: На плавление льда было затрачено 7524 Дж теплоты.

2. Начальная температура долитой воды:

По условию, после установления теплового равновесия весь растаявший лёд находится в воде, а значит, теплота, полученная водой при охлаждении от начальной температуры до 0 °С, пошла на плавление льда. Масса воды $$m_в = 40$$ г $$= 0.04$$ кг. Удельная теплоёмкость воды $$c_в = 4200$$ Дж/(кг·°С).

Количество теплоты, отданное водой:

\[ Q_{воды} = c_в \cdot m_в \cdot \Delta T \]

Здесь $$\Delta T$$ — изменение температуры воды, которое равно начальной температуре воды, так как она охлаждается до 0 °С.

\[ Q_{воды} = c_в \cdot m_в \cdot t_{воды} \]

Приравниваем количество теплоты, отданное водой, количеству теплоты, затраченному на плавление льда:

\[ Q_{воды} = Q \]

\[ c_в \cdot m_в \cdot t_{воды} = 7524 \text{ Дж} \]

\[ 4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 0.04 \text{ кг} \cdot t_{воды} = 7524 \text{ Дж} \]

\[ 168 \text{ Дж/°С} \cdot t_{воды} = 7524 \text{ Дж} \]

\[ t_{воды} = \frac{7524 \text{ Дж}}{168 \text{ Дж/°С}} \]

\[ t_{воды} \approx 44.79 \text{ °С} \]

Ответ: Начальная температура долитой воды была примерно 44.79 °С.

3. Диапазон возможной начальной температуры долитой воды:

Погрешность измерения массы льда:

\[ \Delta m_{л,изм} = 0.2 \text{ г} = 0.0002 \text{ кг} \]

Погрешность измерения массы воды:

\[ \varepsilon = 1\% \]

\[ \Delta m_{в,изм} = \varepsilon \cdot m_в = 0.01 \cdot 40 \text{ г} = 0.4 \text{ г} = 0.0004 \text{ кг} \]

Расчет минимальной и максимальной массы растаявшего льда:

\[ m_{л, min} = m_л - \Delta m_{л,изм} = 22.8 \text{ г} - 0.2 \text{ г} = 22.6 \text{ г} = 0.0226 \text{ кг} \]

\[ m_{л, max} = m_л + \Delta m_{л,изм} = 22.8 \text{ г} + 0.2 \text{ г} = 23.0 \text{ г} = 0.0230 \text{ кг} \]

Расчет минимальной и максимальной массы воды:

\[ m_{в, min} = m_в - \Delta m_{в,изм} = 40 \text{ г} - 0.4 \text{ г} = 39.6 \text{ г} = 0.0396 \text{ кг} \]

\[ m_{в, max} = m_в + \Delta m_{в,изм} = 40 \text{ г} + 0.4 \text{ г} = 40.4 \text{ г} = 0.0404 \text{ кг} \]

Расчет минимальной и максимальной температуры воды:

Используем ту же логику, что и в пункте 2, но с учетом погрешностей. Количество теплоты, полученное от воды, равно количеству теплоты, затраченному на плавление льда:

\[ c_в \cdot m_{в} \cdot t_{воды} = \lambda \cdot m_{л} \]

\[ t_{воды} = \frac{\lambda \cdot m_{л}}{c_в \cdot m_{в}} \]

Минимальная температура воды ($$t_{воды, min}$$) будет при минимальной массе льда ($$m_{л, min}$$) и максимальной массе воды ($$m_{в, max}$$):

\[ t_{воды, min} = \frac{330000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0226 \text{ кг}}{4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 0.0404 \text{ кг}} \]

\[ t_{воды, min} = \frac{7458 \text{ Дж}}{169.68 \text{ Дж/°С}} \approx 43.95 \text{ °С} \]

Максимальная температура воды ($$t_{воды, max}$$) будет при максимальной массе льда ($$m_{л, max}$$) и минимальной массе воды ($$m_{в, min}$$):

\[ t_{воды, max} = \frac{330000 \text{ Дж/кг} \cdot 0.0230 \text{ кг}}{4200 \text{ Дж/(кг·°С)} \cdot 0.0396 \text{ кг}} \]

\[ t_{воды, max} = \frac{7590 \text{ Дж}}{166.32 \text{ Дж/°С}} \approx 45.63 \text{ °С} \]

Ответ: Диапазон возможной начальной температуры долитой воды составляет от 43.95 °С до 45.63 °С.