В сосуд, в котором налито две жидкости – ртуть и вода, опускают металлический цилиндр. При этом 0,7 высоты цилиндра располагаются во ртути, 0,3 – в воде. Какую плотность имеет металл? Ответ выразите в СИ, округлив до целого числа. \( \rho_M = \) кг/м³

Решение:

1. Запишем условие равновесия для цилиндра:

   \[mg = F_{Ar(Hg)} + F_{Ar(H_2O)}\]

   где:

   • \( m \) – масса цилиндра,
   • \( F_{Ar(Hg)} \) – сила Архимеда в ртути,
   • \( F_{Ar(H_2O)} \) – сила Архимеда в воде.

2. Выразим массу цилиндра через его плотность и объем:

   \[m = \rho_M \cdot V\]

   где:

   • \( \rho_M \) – плотность металла,
   • \( V \) – полный объем цилиндра.

3. Выразим силы Архимеда:

   \[F_{Ar(Hg)} = \rho_{Hg} \cdot g \cdot V_{Hg}\] \[F_{Ar(H_2O)} = \rho_{H_2O} \cdot g \cdot V_{H_2O}\]

   где:

   • \( \rho_{Hg} = 13600 \) кг/м³ – плотность ртути,
   • \( \rho_{H_2O} = 1000 \) кг/м³ – плотность воды,
   • \( V_{Hg} = 0.7V \) – объем цилиндра в ртути,
   • \( V_{H_2O} = 0.3V \) – объем цилиндра в воде.

4. Подставим все выражения в условие равновесия:

   \[\rho_M \cdot V \cdot g = \rho_{Hg} \cdot g \cdot 0.7V + \rho_{H_2O} \cdot g \cdot 0.3V\]

5. Сократим на \( g \cdot V \):

   \[\rho_M = 0.7 \cdot \rho_{Hg} + 0.3 \cdot \rho_{H_2O}\]

6. Подставим значения плотностей:

   \[\rho_M = 0.7 \cdot 13600 + 0.3 \cdot 1000\] \[\rho_M = 9520 + 300\] \[\rho_M = 9820 \text{ кг/м}^3\]

7. Округлим до целого числа:

   \[\rho_M \approx 9820 \text{ кг/м}^3\]

Ответ: 9820 кг/м³