В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает 1/2 высоты. Объём сосуда 1400 мл. Чему равен объём налитой жидкости? Ответ дайте в миллилитрах.

Решение:

Объём конуса вычисляется по формуле: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \).

Пусть \( V_{сосуда} \) — объём всего сосуда, а \( V_{жидкости} \) — объём налитой жидкости.

Пусть \( H \) — высота всего сосуда, а \( h \) — высота жидкости. По условию, \( h = \frac{1}{2} H \).

Пусть \( R \) — радиус основания всего сосуда, а \( r \) — радиус уровня жидкости.

Благодаря подобию треугольников (образующих осевое сечение большого и малого конусов), радиус уровня жидкости \( r \) относится к радиусу основания \( R \) так же, как высота жидкости \( h \) относится к высоте сосуда \( H \):

\( \frac{r}{R} = \frac{h}{H} = \frac{1}{2} \)

Следовательно, \( r = \frac{1}{2} R \).

Теперь запишем объём жидкости:

\( V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi r^2 h = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{1}{2} R \right)^2 \left( \frac{1}{2} H \right) \)

\( V_{жидкости} = \frac{1}{3} \pi \left( \frac{1}{4} R^2 \right) \left( \frac{1}{2} H \right) = \frac{1}{8} \left( \frac{1}{3} \pi R^2 H \right) \)

Заметим, что выражение в скобках \( \frac{1}{3} \pi R^2 H \) — это объём всего сосуда \( V_{сосуда} \).

Таким образом, \( V_{жидкости} = \frac{1}{8} V_{сосуда} \).

Подставим известное значение объёма сосуда: \( V_{сосуда} = 1400 \) мл.

\( V_{жидкости} = \frac{1}{8} \cdot 1400 = 175 \) мл.

Ответ: 175 мл.