7. В сосуде, имеющем форму конуса, уровень жидкости достигает \(\frac{1}{3}\) высоты. Объём жидкости равен 31 мл. Сколько миллилитров жидкости нужно долить, чтобы полностью наполнить сосуд?

Объем жидкости в конусе составляет 31 мл, уровень жидкости достигает \(\frac{1}{3}\) высоты конуса. Необходимо найти объем жидкости, который нужно долить, чтобы полностью заполнить сосуд.

Пусть \(V\) - объем всего конуса, \(h\) - высота всего конуса, \(r\) - радиус основания всего конуса.

Объем конуса вычисляется по формуле: $$V = \frac{1}{3} \pi r^2 h$$

Уровень жидкости достигает \(\frac{1}{3}\) высоты, значит, высота малого конуса (с жидкостью) равна \(\frac{1}{3}h\).

Так как конус с жидкостью подобен полному конусу, то отношение их радиусов равно отношению их высот:

$$\frac{r_{\text{малого}}}{r} = \frac{\frac{1}{3}h}{h} = \frac{1}{3}$$, где \(r_{\text{малого}}\) - радиус основания малого конуса.

Отсюда, \(r_{\text{малого}} = \frac{1}{3}r\).

Объем малого конуса (с жидкостью) равен:

$$V_{\text{малого}} = \frac{1}{3} \pi r_{\text{малого}}^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \pi (\frac{1}{3}r)^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{1}{3} \pi \frac{1}{9}r^2 \cdot \frac{1}{3}h = \frac{1}{27} (\frac{1}{3} \pi r^2 h) = \frac{1}{27}V$$

Из условия задачи известно, что объем малого конуса равен 31 мл, то есть $$V_{\text{малого}} = 31 \text{ мл}$$.

Получаем:

$$\frac{1}{27}V = 31 \text{ мл}$$

$$V = 31 \cdot 27 = 837 \text{ мл}$$

Объем всего конуса равен 837 мл.

Чтобы найти объем жидкости, который нужно долить, нужно из объема всего конуса вычесть объем уже имеющейся жидкости:

$$V_{\text{долить}} = V - V_{\text{малого}} = 837 - 31 = 806 \text{ мл}$$

Ответ: 806