В сосуде под поршнем находится влажный воздух при давлении р₁ = 120 кПа и температуре t = 80 °С с относительной влажностью ф = 70%. Объём под поршнем уменьшают в три раза при постоянной температуре. Каким станет давление влажного воздуха под поршнем? Давление насыщенных паров воды рн при температуре t = 80 °С равно 47,3 кПа.

Решение:

При постоянной температуре влажный воздух ведёт себя как смесь сухого воздуха и водяного пара. Давление сухого воздуха и давление водяного пара подчиняются закону Бойля-Мариотта, если их объёмы и температуры не меняются.

Для начала найдём парциальное давление водяного пара в начальном состоянии.

Относительная влажность \( \phi \) определяется как отношение парциального давления водяного пара \( p_{v1} \) к давлению насыщенного пара \( p_s \) при данной температуре:

\[ \phi = \frac{p_{v1}}{p_s} \]

Отсюда парциальное давление водяного пара:

\[ p_{v1} = \phi \cdot p_s \]

Подставим известные значения:

\[ p_{v1} = 0.70 \cdot 47.3 \text{ кПа} = 33.11 \text{ кПа} \]

Общее давление влажного воздуха \( p_1 \) является суммой парциального давления сухого воздуха \( p_{a1} \) и парциального давления водяного пара \( p_{v1} \):

\[ p_1 = p_{a1} + p_{v1} \]

Найдем парциальное давление сухого воздуха в начальном состоянии:

\[ p_{a1} = p_1 - p_{v1} = 120 \text{ кПа} - 33.11 \text{ кПа} = 86.89 \text{ кПа} \]

Объём уменьшают в три раза при постоянной температуре. Это означает, что объём сухого воздуха и объём водяного пара уменьшаются в три раза.

По закону Бойля-Мариотта для сухого воздуха:

\[ p_{a1} V_1 = p_{a2} V_2 \]

где \( V_2 = \frac{V_1}{3} \). Отсюда парциальное давление сухого воздуха во втором состоянии:

\[ p_{a2} = p_{a1} \frac{V_1}{V_2} = p_{a1} \frac{V_1}{V_1/3} = 3 p_{a1} \]

Подставим значение \( p_{a1} \):

\[ p_{a2} = 3 \cdot 86.89 \text{ кПа} = 260.67 \text{ кПа} \]

Поскольку температура постоянна и мы уменьшаем объём, вода, находящаяся в воздухе, останется в виде пара, если её парциальное давление не превысит давление насыщенного пара. Температура не изменилась, поэтому давление насыщенного пара остаётся таким же: \( p_s = 47.3 \text{ кПа} \).

Парциальное давление водяного пара во втором состоянии \( p_{v2} \) будет равно его давлению в первом состоянии, если оно не превышает давление насыщенного пара:

\[ p_{v2} = p_{v1} = 33.11 \text{ кПа} \]

Проверим, не превышает ли \( p_{v2} \) давление насыщенного пара \( p_s \):

\[ 33.11 \text{ кПа} < 47.3 \text{ кПа} \]

Условие выполнено, поэтому парциальное давление водяного пара останется прежним.

Общее давление влажного воздуха во втором состоянии \( p_2 \) будет суммой парциального давления сухого воздуха \( p_{a2} \) и парциального давления водяного пара \( p_{v2} \):

\[ p_2 = p_{a2} + p_{v2} = 260.67 \text{ кПа} + 33.11 \text{ кПа} = 293.78 \text{ кПа} \]

Ответ: Давление влажного воздуха под поршнем станет 293.78 кПа.