В сосуде с небольшой трещиной находится воздух. Воздух может медленно просачиваться сквозь трещину. Во время опыта объем сосуда уменьшили в 12 раз, давление воздуха в сосуде увеличилось тоже в 12 раз, а его абсолютная температура увеличилась в 9 раз. Чему равно изменение внутренней энергии воздуха в сосуде? (Воздух считать идеальным газом.)

Решение:

Изменение внутренней энергии идеального газа определяется формулой:

\[ \Delta U = \frac{i}{2} n R \Delta T = \frac{i}{2} \Delta (PV) \]

где \( i \) — число степеней свободы молекулы газа. Для двухатомного газа (воздух состоит в основном из двухатомных молекул азота и кислорода) \( i = 5 \).

Из условия задачи:

• Объем уменьшился в 12 раз: \( V_2 = \frac{V_1}{12} \)
• Давление увеличилось в 12 раз: \( P_2 = 12 P_1 \)
• Температура увеличилась в 9 раз: \( T_2 = 9 T_1 \)

Изменение внутренней энергии можно рассчитать по изменению произведения \( PV \) или по изменению температуры.

Используем изменение произведения \( PV \):

\[ \Delta U = \frac{i}{2} (P_2 V_2 - P_1 V_1) \]

Подставим значения:

\[ \Delta U = \frac{5}{2} ( (12 P_1) \cdot (\frac{V_1}{12}) - P_1 V_1 ) \]

\[ \Delta U = \frac{5}{2} ( P_1 V_1 - P_1 V_1 ) \]

\[ \Delta U = \frac{5}{2} \cdot 0 \]

\[ \Delta U = 0 \]

Теперь проверим расчет через изменение температуры:

Начальная внутренняя энергия: \( U_1 = \frac{i}{2} n R T_1 = \frac{5}{2} n R T_1 \).

Конечная внутренняя энергия: \( U_2 = \frac{i}{2} n R T_2 = \frac{5}{2} n R (9 T_1) = 9 \cdot \frac{5}{2} n R T_1 \).

Изменение внутренней энергии: \( \Delta U = U_2 - U_1 = 9 \cdot \frac{5}{2} n R T_1 - \frac{5}{2} n R T_1 = 8 \cdot \frac{5}{2} n R T_1 = 20 n R T_1 \).

Нам нужно выразить \( n R \) через начальные параметры. Из уравнения Менделеева-Клапейрона \( P_1 V_1 = n R T_1 \).

Тогда \( \Delta U = 20 (P_1 V_1) \).

Однако, в условии сказано, что воздух может просачиваться. Если это означает, что количество вещества \( n \) могло измениться, то необходимо использовать уравнение \( \Delta U = \frac{i}{2} n R \Delta T \), но \( n \) не известно.

Если считать, что количество вещества \( n \) в сосуде осталось постоянным, то

\[ \Delta U = \frac{5}{2} n R (T_2 - T_1) = \frac{5}{2} n R (9T_1 - T_1) = \frac{5}{2} n R (8T_1) = 20 n R T_1 \]

Мы знаем \( P_1 V_1 = n R T_1 \).

И \( P_2 V_2 = n R T_2 \).

\( P_2 = 12 P_1 \), \( V_2 = V_1 / 12 \), \( T_2 = 9 T_1 \).

\( P_2 V_2 = (12 P_1) (V_1 / 12) = P_1 V_1 \).

По уравнению состояния идеального газа \( PV = nRT \). Если \( PV \) не меняется, то \( nT \) должно оставаться постоянным.

\( n_1 T_1 = n_2 T_2 \).

\( n_2 = n_1 \frac{T_1}{T_2} = n_1 \frac{T_1}{9T_1} = \frac{n_1}{9} \).

Это означает, что количество вещества уменьшилось в 9 раз.

Теперь рассчитаем изменение внутренней энергии с учетом изменения \( n \).

\( \Delta U = \frac{i}{2} (n_2 R T_2 - n_1 R T_1) \)

\( \Delta U = \frac{5}{2} ( \frac{n_1}{9} R (9 T_1) - n_1 R T_1 ) \)

\( \Delta U = \frac{5}{2} ( n_1 R T_1 - n_1 R T_1 ) \)

\( \Delta U = \frac{5}{2} · 0 \)

\[ \Delta U = 0 \]

Ответ: 0