В стакан, содержащий лед при температуре −5 °С, налили воду, имеющую температуру 40 °С. Каково отношение массы воды к массе льда, если весь лед растаял и в стакане установилась температура 0 °С? Теплообменом с окружающим воздухом пренебречь. (Удельная теплоемкость воды — 4,2 кДж/(кг·°С), льда — 2,1 кДж/(кг·°С), удельная теплота плавления льда — 330 кДж/кг.) Ответ дайте с точностью до сотых.

Эта задача связана с тепловым балансом. Чтобы решить ее, нужно приравнять количество теплоты, отданное водой, к количеству теплоты, полученному льдом.

Дано:

• Температура льда: t_л = −5 °С
• Температура воды: t_в = 40 °С
• Конечная температура: t_к = 0 °С
• Удельная теплоемкость воды: c_в = 4,2 кДж/(кг·°С)
• Удельная теплоемкость льда: c_л = 2,1 кДж/(кг·°С)
• Удельная теплота плавления льда: λ = 330 кДж/кг

Найти:

• Отношение массы воды к массе льда: m_в / m_л

Решение:

1. Теплота, полученная льдом:
• Сначала лед должен нагреться от −5 °С до 0 °С. Количество теплоты для нагрева льда:

Q_{нагрев_л} = m_л ⋅ c_л ⋅ (t_к − t_л) = m_л ⋅ 2,1 кДж/(кг·°С) ⋅ (0 °С − (−5 °С)) = m_л ⋅ 2,1 ⋅ 5 = 10,5 ⋅ m_л кДж

• Затем лед должен растаять при 0 °С. Количество теплоты для плавления льда:

Q_{плавление_л} = m_л ⋅ λ = m_л ⋅ 330 кДж/кг = 330 ⋅ m_л кДж

• Общее количество теплоты, полученное льдом:

Q_лед = Q_{нагрев_л} + Q_{плавление_л} = 10,5 ⋅ m_л + 330 ⋅ m_л = 340,5 ⋅ m_л кДж

2. Теплота, отданная водой:
• Вода остывает от 40 °С до 0 °С. Количество теплоты, отданное водой:

Q_вода = m_в ⋅ c_в ⋅ (t_в − t_к) = m_в ⋅ 4,2 кДж/(кг·°С) ⋅ (40 °С − 0 °С) = m_в ⋅ 4,2 ⋅ 40 = 168 ⋅ m_в кДж

3. Закон сохранения энергии (тепловой баланс):
• Количество теплоты, отданное водой, равно количеству теплоты, полученному льдом:

Q_вода = Q_лед

168 ⋅ m_в = 340,5 ⋅ m_л

4. Находим отношение масс:

m_в / m_л = 340,5 / 168

m_в / m_л ≈ 2,0267857...

5. Округляем до сотых:

m_в / m_л ≈ 2,03

Ответ: 2,03