В столярной мастерской работают мастер и его ученик. За сколько дней мастер может изготовить кресло, если ученик на изготовление кресла тратит на 8 дней больше, чем мастер, а работая одновременно, они могут эту работу сделать за 3 дня? Мастер может изготовить кресло за дней.

Решение:

Пусть \( x \) — количество дней, за которое мастер может изготовить кресло. Тогда ученик может изготовить кресло за \( x + 8 \) дней.

Производительность мастера: \( \frac{1}{x} \) кресла в день.

Производительность ученика: \( \frac{1}{x+8} \) кресла в день.

Совместная производительность: \( \frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} \).

По условию, работая вместе, они изготавливают кресло за 3 дня. Значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{3} \) кресла в день.

Составим уравнение:

\[ \frac{1}{x} + \frac{1}{x+8} = \frac{1}{3} \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{x+8 + x}{x(x+8)} = \frac{1}{3} \]

\[ \frac{2x+8}{x^2+8x} = \frac{1}{3} \]

Перемножим крест-накрест:

\[ 3(2x+8) = x^2+8x \]

\[ 6x+24 = x^2+8x \]

Перенесём все члены в одну сторону:

\[ x^2 + 8x - 6x - 24 = 0 \]

\[ x^2 + 2x - 24 = 0 \]

Решим квадратное уравнение. Дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-24) = 4 + 96 = 100 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + 10}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - 10}{2} = \frac{-12}{2} = -6 \]

Так как время не может быть отрицательным, выбираем положительный корень \( x = 4 \).

Проверим:

Мастер делает за 4 дня, производительность \( \frac{1}{4} \).

Ученик делает за \( 4+8=12 \) дней, производительность \( \frac{1}{12} \).

Совместно: \( \frac{1}{4} + \frac{1}{12} = \frac{3}{12} + \frac{1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \). Работа выполнена за 3 дня. Условие выполняется.

Ответ: Мастер может изготовить кресло за 4 дней.