6) В строчку записано 15 чисел. Известно, что сумма любых четырёх подряд стоящих чисел положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

Решение:

Давай рассуждать логически. У нас есть 15 чисел, и сумма любых четырёх подряд идущих чисел всегда положительна. Обозначим наши числа как a₁, a₂, a₃, ..., a₁₅.

Мы знаем, что:

• a₁ + a₂ + a₃ + a₄ > 0
• a₂ + a₃ + a₄ + a₅ > 0
• a₃ + a₄ + a₅ + a₆ > 0
• ...
• a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₅ > 0

Теперь рассмотрим сумму всех 15 чисел:

S = a₁ + a₂ + a₃ + ... + a₁₅

Мы можем разбить эту сумму на группы по четыре числа, чтобы использовать известную нам информацию.

S = (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) + (a₅ + a₆ + a₇ + a₈) + (a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂) + (a₁₃ + a₁₄ + a₁₅)

Заметим, что у нас есть 3 числа, которые не вошли в полные группы по 4 числа. Чтобы получить более точную оценку, мы можем сгруппировать числа немного иначе:

S = (a₁ + a₂ + a₃ + a₄) + (a₂ + a₃ + a₄ + a₅) + (a₃ + a₄ + a₅ + a₆) + (a₄ + a₅ + a₆ + a₇) + (a₅ + a₆ + a₇ + a₈) + (a₆ + a₇ + a₈ + a₉) + (a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀) + (a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁) + (a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂) + (a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ + a₁₃) + (a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄) + (a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₅)

Теперь посмотрим, что произойдет, если мы сложим все эти неравенства:

a₁ + a₂ + a₃ + a₄ > 0

a₂ + a₃ + a₄ + a₅ > 0

a₃ + a₄ + a₅ + a₆ > 0

a₄ + a₅ + a₆ + a₇ > 0

a₅ + a₆ + a₇ + a₈ > 0

a₆ + a₇ + a₈ + a₉ > 0

a₇ + a₈ + a₉ + a₁₀ > 0

a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁ > 0

a₉ + a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ > 0

a₁₀ + a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ > 0

a₁₁ + a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ > 0

a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₅ > 0

Если мы сложим эти 12 неравенств, то получим:

(a₁ + 2a₂ + 3a₃ + 4a₄ + 4a₅ + 4a₆ + 4a₇ + 4a₈ + 4a₉ + 4a₁₀ + 4a₁₁ + 4a₁₂ + 3a₁₃ + 2a₁₄ + a₁₅) > 0

Заметим, что числа в середине (a₄ ... a₁₂) встречаются 4 раза, числа по краям встречаются меньшее количество раз.

Рассмотрим другой способ разбиения суммы S:

S = (a₁ + a₂ + a₃) + (a₄ + a₅ + a₆ + a₇) + (a₈ + a₉ + a₁₀ + a₁₁) + (a₁₂ + a₁₃ + a₁₄ + a₁₅)

S = (a₁ + a₂ + a₃) + положительное + положительное + положительное

Если мы найдем пример, когда (a₁ + a₂ + a₃) будет отрицательным, то мы сможем показать, что сумма всех чисел может быть отрицательной.

Рассмотрим пример:

a₁ = -5, a₂ = -5, a₃ = 11, a₄ = 1, a₅ = 1, a₆ = 1, a₇ = 1, a₈ = 1, a₉ = 1, a₁₀ = 1, a₁₁ = 1, a₁₂ = 1, a₁₃ = 1, a₁₄ = 1, a₁₅ = 1

a₁ + a₂ + a₃ = -5 - 5 + 11 = 1 > 0 (ошибка!)

a₁ = 2, a₂ = 2, a₃ = -5, a₄ = 2, a₅ = 2, a₆ = -5, a₇ = 2, a₈ = 2, a₉ = -5, a₁₀ = 2, a₁₁ = 2, a₁₂ = -5, a₁₃ = 2, a₁₄ = 2, a₁₅ = -5

В данном случае сумма любых четырех чисел будет 2+2-5+2 = 1 > 0

а сумма всех чисел: 2 + 2 - 5 + 2 + 2 - 5 + 2 + 2 - 5 + 2 + 2 - 5 + 2 + 2 - 5 = -10 < 0

Ответ: нет, я знаю пример, в котором сумма всех чисел неположительна.

Ответ найден! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!