В строку записаны 27 натуральных чисел. Известно, что сумма любых пяти подряд идущих чисел равна 8, а сумма всех чисел равна 43. Сколько расстановок удовлетворяют данным условиям?

Обозначим числа последовательности через \(a_1,a_2,\ldots,a_{27}\).

Вычтем суммы двух соседних групп по пять чисел: \((a_1+\cdots+a_5)=(a_2+\cdots+a_6)=8\). Получаем \(a_6=a_1\). Аналогично для всех соседних групп: \(a_{i+5}=a_i\), где \(1\le i\le22\). Значит, последовательность повторяет первые пять чисел.

Пусть первые пять чисел — \(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5\). Их сумма равна 8. В 27 числах содержатся пять полных повторов этой пятёрки и ещё \(x_1,x_2\), поэтому сумма всех чисел равна \(5\cdot8+x_1+x_2=43\). Отсюда \(x_1+x_2=3\).

Так как числа натуральные, для первых двух чисел возможны только пары \((1,2)\) и \((2,1)\): 2 варианта. Тогда \(x_3+x_4+x_5=5\). Число троек положительных целых чисел с такой суммой равно \(\binom{4}{2}=6\).

Каждая из этих пятёрок задаёт ровно одну последовательность из 27 чисел, повторённую по правилу выше. Поэтому всего \(2\cdot6=12\) расстановок.

Ответ: 12.