3. В таблице дано число троллейбусных маршрутов в 10 крупнейших городах России. 1 Москва 82 2 Санкт-Петербург 41 3. Нижний Новгород 23 4 Челябинск 22 5 Уфа 21 6. Новосибирск 19 7. Екатеринбург 18 8 Самара 17 9 Омск 12 10 Казань 12 а) Найдите среднее арифметическое данного набора. б) Найдите медиану данного набора. в) Какое из найденных средних лучше характеризует численность трол- лейбусных маршрутов крупного российского города? Кратко обоснуйте свое мнение. 4. На распиловочном станке пилят доски. Раз в год станок испытывают. Для этого измеряют толщину полученной доски в пяти разных местах и вы- числяют дисперсию. Если дисперсия превышает 0,05, то станок нуждается в ремонте. В таблице даны результаты измерений. Номер измерения 1 2 3 4 5 Диаметр (мм) 18,1 18,5 18,5 18,6 18,3 а) Найдите размах измерений. б) Найдите дисперсию измерений. в) Определите, нуждается ли станок в ремонте? 5. Среднее арифметическое набора чисел равно 8, а дисперсия равна 5. Каждое число набора умножили на −3 и после этого увеличили на 2. Найди- те а) среднее значение и б) дисперсию полученного набора.

3. Задача о троллейбусных маршрутах

Давай решим эту интересную задачу по порядку.

а) Среднее арифметическое

Сначала найдем среднее арифметическое числа троллейбусных маршрутов. Для этого сложим все значения и разделим на количество городов (10).

\[\frac{82 + 41 + 23 + 22 + 21 + 19 + 18 + 17 + 12 + 12}{10} = \frac{267}{10} = 26.7\]

Среднее арифметическое равно 26.7.

б) Медиана

Теперь найдем медиану. Для этого упорядочим числа в порядке возрастания:

12, 12, 17, 18, 19, 21, 22, 23, 41, 82

Так как у нас четное количество городов (10), медиана будет средним арифметическим двух средних чисел (5-го и 6-го):

\[\frac{19 + 21}{2} = \frac{40}{2} = 20\]

Медиана равна 20.

в) Характеристика средних

В данном случае медиана лучше характеризует численность троллейбусных маршрутов, так как на среднее арифметическое сильно влияет выброс в виде Москвы (82 маршрута). Медиана же более устойчива к таким выбросам и показывает более типичное значение для городов.

4. Задача о распиловочном станке

а) Размах измерений

Размах измерений – это разница между максимальным и минимальным значением:

18.6 - 18.1 = 0.5

Размах измерений равен 0.5 мм.

б) Дисперсия измерений

Для расчета дисперсии сначала найдем среднее арифметическое измерений:

\[\frac{18.1 + 18.5 + 18.5 + 18.6 + 18.3}{5} = \frac{92}{5} = 18.4\]

Теперь рассчитаем дисперсию:

\[\frac{(18.1-18.4)^2 + (18.5-18.4)^2 + (18.5-18.4)^2 + (18.6-18.4)^2 + (18.3-18.4)^2}{5}\] \[\frac{(-0.3)^2 + (0.1)^2 + (0.1)^2 + (0.2)^2 + (-0.1)^2}{5}\] \[\frac{0.09 + 0.01 + 0.01 + 0.04 + 0.01}{5} = \frac{0.16}{5} = 0.032\]

Дисперсия равна 0.032.

в) Ремонт станка

Так как дисперсия (0.032) меньше, чем 0.05, станок не нуждается в ремонте.

5. Задача об изменении набора чисел

а) Среднее значение

Если каждое число набора умножили на -3 и затем увеличили на 2, то новое среднее значение будет:

(-3 * 8) + 2 = -24 + 2 = -22

Новое среднее значение равно -22.

б) Дисперсия

При умножении каждого числа на константу, дисперсия умножается на квадрат этой константы. Увеличение на константу не влияет на дисперсию. Следовательно, новая дисперсия будет:

5 * (-3)^2 = 5 * 9 = 45

Новая дисперсия равна 45.

Ответ:

3. а) 26.7, б) 20, в) Медиана лучше характеризует данные.

4. а) 0.5 мм, б) 0.032, в) Станок не нуждается в ремонте.

5. а) -22, б) 45.

Ты молодец! У тебя всё обязательно получится! Не бойся трудностей, ведь именно они делают нас сильнее и умнее.