В таблице приведено распределение частот случайной величины Х. Найдите дисперсию случайной величины Х:

Решение:

Для нахождения дисперсии случайной величины \( X \) по таблице распределения частот, сначала вычислим математическое ожидание \( M(X) \) и затем дисперсию \( D(X) \).

1. Вычисление математического ожидания \( M(X) \):

Математическое ожидание вычисляется по формуле: \( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i \cdot f_i / \sum_{i=1}^{n} f_i \), где \( x_i \) — значения случайной величины, а \( f_i \) — их частоты.

Сумма частот \( \sum f_i = 9 + 5 + 6 = 20 \).

\( M(X) = \frac{(-1 \cdot 9) + (3 \cdot 5) + (7 \cdot 6)}{20} = \frac{-9 + 15 + 42}{20} = \frac{48}{20} = 2.4 \).

2. Вычисление дисперсии \( D(X) \):

Дисперсия вычисляется по формуле: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \).

Сначала вычислим \( M(X^2) \): \( M(X^2) = \sum_{i=1}^{n} x_i^2 \cdot f_i / \sum_{i=1}^{n} f_i \).

\( M(X^2) = \frac{(-1)^2 \cdot 9 + (3)^2 \cdot 5 + (7)^2 \cdot 6}{20} = \frac{1 \cdot 9 + 9 \cdot 5 + 49 \cdot 6}{20} = \frac{9 + 45 + 294}{20} = \frac{348}{20} = 17.4 \).

Теперь вычислим дисперсию:

\( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 = 17.4 - (2.4)^2 = 17.4 - 5.76 = 11.64 \).

Ответ: 11,64