В таблице приведены данные изменения напряжения на обкладках конденсатора идеального колебательного контура при свободных электромагнитных колебаниях в этом контуре. t, 10^-6c | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 U, B | 40 | 28,3 | 0 | -28,3 | -40 | -28,3 | 0 | 28,3 | 40 | 28.3 Вычислите по этим данным максимальную энергию конденсатора, если индуктивность катушки равна 4,3 мГн.

Решение:

Максимальная энергия конденсатора вычисляется по формуле:

\[ W_{C,max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2 \]

где \( U_{max} \) — максимальное напряжение на конденсаторе, а \( C \) — ёмкость конденсатора.

Из таблицы видно, что максимальное значение напряжения \( U_{max} = 40 \) В.

Максимальная энергия магнитного поля в катушке вычисляется по формуле:

\[ W_{L,max} = \frac{1}{2} L I_{max}^2 \]

В идеальном колебательном контуре энергия колеблется между конденсатором и катушкой, поэтому максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки:

\[ W_{C,max} = W_{L,max} \]

Также, максимальное напряжение и максимальный ток связаны соотношением:

\[ U_{max} = I_{max} \sqrt{\frac{L}{C}} \]

Из этого соотношения выразим ёмкость \( C \):

\[ C = L \left( \frac{I_{max}}{U_{max}} \right)^2 \]

Подставим это выражение для \( C \) в формулу для максимальной энергии конденсатора:

\[ W_{C,max} = \frac{1}{2} \left( L \left( \frac{I_{max}}{U_{max}} \right)^2 \right) U_{max}^2 = \frac{1}{2} L I_{max}^2 \]

Это означает, что нам нужно найти максимальную энергию, которая запасается в катушке. Для этого нам необходимо знать максимальный ток \( I_{max} \).

В идеальном колебательном контуре выполняется закон сохранения энергии. Максимальная энергия электрического поля в конденсаторе равна максимальной энергии магнитного поля в катушке. Так как мы знаем максимальное напряжение на конденсаторе \( U_{max} = 40 \) В, мы можем найти максимальную энергию конденсатора, если знаем ёмкость \( C \).

Однако, у нас нет ёмкости \( C \). Мы знаем индуктивность \( L = 4,3 \) мГн \( = 4,3 \times 10^{-3} \) Гн.

Давайте воспользуемся тем, что в колебательном контуре энергия сохраняется. Максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки.

\( U(t) = U_{max} \cos(\omega t + \phi) \)

\( I(t) = -I_{max} \omega \sin(\omega t + \phi) \)

где \( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \).

Из таблицы, при \( t = 0 \), \( U = 40 \) В. При \( t = 2 \times 10^{-6} \) с, \( U = 0 \). Это значит, что \( \omega \times 2 \times 10^{-6} = \frac{\pi}{2} \) (или \( \frac{3\pi}{2} \), и т.д.).

\( \omega = \frac{\pi}{4 \times 10^{-6}} \) рад/с.

Тогда \( C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{\left(\frac{\pi}{4 \times 10^{-6}}\right)^2 \times 4,3 \times 10^{-3}} = \frac{(4 \times 10^{-6})^2 \times 10^6}{\pi^2 \times 4,3} = \frac{16 \times 10^{-12} \times 10^6}{9,87 \times 4,3} = \frac{16 \times 10^{-6}}{42,441} \approx 0,377 \times 10^{-6} \) Ф \( = 0,377 \) мкФ.

Теперь найдем максимальную энергию конденсатора:

\[ W_{C,max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2 = \frac{1}{2} \times (0,377 \times 10^{-6}) \times (40)^2 = \frac{1}{2} \times 0,377 \times 10^{-6} \times 1600 = 0,377 \times 10^{-6} \times 800 = 301,6 \times 10^{-6} \] Дж \( = 0,3016 \) мкДж.

Проверим, используя максимальный ток. Так как \( U(t) = U_{max} \cos(\omega t) \) (при \( \phi=0 \)), то \( I(t) = -I_{max} \omega \sin(\omega t) \). При \( t=0 \), \( U=U_{max} \). При \( t=\frac{T}{4} = \frac{\pi}{2\omega} \), \( U=0 \) и \( I = -I_{max} \).

Из таблицы, \( U=0 \) при \( t = 2 \times 10^{-6} \) с. Это соответствует \( \frac{T}{4} \). Значит, период \( T = 8 \times 10^{-6} \) с. Циклическая частота \( \omega = \frac{2\pi}{T} = \frac{2\pi}{8 \times 10^{-6}} = \frac{\pi}{4 \times 10^{-6}} \) рад/с.

\( C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(\frac{\pi}{4 \times 10^{-6}})^2 \times 4.3 \times 10^{-3}} = \frac{(4 \times 10^{-6})^2 \times 10^6}{\pi^2 \times 4.3} = \frac{16 \times 10^{-6}}{9.87 \times 4.3} = \frac{16 \times 10^{-6}}{42.441} \approx 0.377 \times 10^{-6} \) Ф.

\( W_{C,max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2 = \frac{1}{2} \times 0.377 \times 10^{-6} \times (40)^2 = \frac{1}{2} \times 0.377 \times 10^{-6} \times 1600 = 0.377 \times 10^{-6} \times 800 = 301.6 \times 10^{-6} \) Дж \( = 0.3016 \) мкДж.

Более простой способ: энергия сохраняется. Максимальная энергия конденсатора равна максимальной энергии катушки.

\( W_{E} = \frac{q^2}{2C} = \frac{1}{2} L i^2 \)

\( u = \frac{q}{C} \)

\( i = \frac{dq}{dt} \)

\( \omega = \frac{1}{\sqrt{LC}} \) \( \Rightarrow \) \( C = \frac{1}{\omega^2 L} \)

Из таблицы видим, что \( U_{max} = 40 \) В. Также видим, что \( U = 0 \) при \( t = 2 \times 10^{-6} \) с. Это соответствует \( \frac{T}{4} \). Значит, полный период \( T = 4 \times (2 \times 10^{-6}) = 8 \times 10^{-6} \) с.

Циклическая частота \( \omega = \frac{2 \pi}{T} = \frac{2 \pi}{8 \times 10^{-6}} = \frac{\pi}{4 \times 10^{-6}} \) рад/с.

Теперь найдём ёмкость \( C \):

\[ C = \frac{1}{\omega^2 L} = \frac{1}{(\frac{\pi}{4 \times 10^{-6}})^2 \times 4.3 \times 10^{-3}} = \frac{(4 \times 10^{-6})^2}{\pi^2 \times 4.3 \times 10^{-3}} = \frac{16 \times 10^{-12}}{9.87 \times 4.3 \times 10^{-3}} = \frac{16 \times 10^{-9}}{42.441} \approx 0.377 \times 10^{-9} \) Ф \( = 0.377 \) нФ.

Теперь рассчитаем максимальную энергию конденсатора:

\[ W_{C,max} = \frac{1}{2} C U_{max}^2 = \frac{1}{2} \times (0.377 \times 10^{-9}) \times (40)^2 = \frac{1}{2} \times 0.377 \times 10^{-9} \times 1600 = 0.377 \times 10^{-9} \times 800 = 301.6 \times 10^{-9} \] Дж \( = 0.3016 \times 10^{-6} \) Дж \( = 0.3016 \) мкДж.

Ответ: Максимальная энергия конденсатора равна 0,3016 мкДж.