В таблице три столбца и несколько строк. В каждую клетку таблицы вписали по натуральному числу так, что сумма всех чисел в первом столбце равна 72, во втором — 81, в третьем — 91, а сумма чисел в каждой строке больше 13, но меньше 16. Сколько всего строк в таблице?

Решение:

Обозначим количество строк в таблице через \( n \).

Пусть \( a_i \), \( b_i \), \( c_i \) — числа в \( i \)-й строке в первом, втором и третьем столбцах соответственно.

По условию, \( a_i, b_i, c_i \) — натуральные числа, то есть \( a_i \ge 1, b_i \ge 1, c_i \ge 1 \).

Сумма чисел в \( i \)-й строке: \( S_i = a_i + b_i + c_i \). По условию, \( 13 < S_i < 16 \). Так как \( a_i, b_i, c_i \) — натуральные числа, то \( S_i \) может быть равно 14 или 15.

Сумма всех чисел в первом столбце: \( \sum_{i=1}^{n} a_i = 72 \).

Сумма всех чисел во втором столбце: \( \sum_{i=1}^{n} b_i = 81 \).

Сумма всех чисел в третьем столбце: \( \sum_{i=1}^{n} c_i = 91 \).

Общая сумма всех чисел в таблице равна сумме сумм по столбцам:

\( \text{Total Sum} = 72 + 81 + 91 = 244 \).

Также общую сумму можно получить, сложив суммы всех строк:

\( \text{Total Sum} = \sum_{i=1}^{n} S_i \).

Так как \( S_i \) может быть равно 14 или 15, то \( \sum_{i=1}^{n} S_i \) будет находиться в диапазоне от \( 14n \) до \( 15n \).

\( 14n \le 244 \le 15n \).

Рассмотрим неравенство \( 14n \le 244 \):

\( n \le \frac{244}{14} \approx 17,42 \).

Рассмотрим неравенство \( 244 \le 15n \):

\( n \ge \frac{244}{15} \approx 16,26 \).

Таким образом, \( 16,26 \le n \le 17,42 \). Поскольку \( n \) — количество строк (натуральное число), то \( n \) может быть равно 17.

Проверим, возможно ли составить таблицу с 17 строками. Если \( n=17 \), то средняя сумма строки равна \( \frac{244}{17} \approx 14,35 \). Это значение находится между 14 и 15, что соответствует условию.

Ответ: 17