50. В течение четверти Лена получила следующие отметки по алгебре: три двойки, две тройки, четыре четвёрки и одну пятёрку. а) Найдите среднее арифметическое и моду ряда отметок. Какую из этих характеристик Лена предпочла бы использовать при выставлении четвертной отметки? б) Учитель выставляет четвертную отметку по среднему арифметическому ряда отметок. До конца четверти ещё две контрольные работы. Может ли Лена улучшить четвертную от- метку? Какие отметки ей достаточно получить за эти контрольные работы?

a) Необходимо найти среднее арифметическое и моду ряда отметок, а также определить, какую характеристику Лена предпочла бы использовать при выставлении четвертной отметки.

1. Найдём среднее арифметическое отметок Лены. Для этого сложим все отметки и разделим на их количество: $$ (2 \times 3 + 3 \times 2 + 4 \times 4 + 5 \times 1) / (3 + 2 + 4 + 1) = (6 + 6 + 16 + 5) / 10 = 33 / 10 = 3.3 $$.
2. Определим моду ряда отметок. Мода — это отметка, которая встречается чаще всего. В данном случае, чаще всего встречается отметка "4" (четыре раза).
3. Лена предпочла бы использовать моду (4) при выставлении четвертной отметки, так как это самая высокая оценка, которую она получала чаще всего.

б) Необходимо определить, сможет ли Лена улучшить четвертную отметку, если учитель выставляет её по среднему арифметическому ряда отметок, а также какие отметки ей достаточно получить за две контрольные работы.

1. Текущая средняя отметка Лены равна 3.3. Предположим, что Лена хочет получить четвертную отметку "4". Тогда среднее арифметическое всех её отметок должно быть равно 4.
2. Обозначим отметки за две контрольные работы как x и y. Тогда новое среднее арифметическое будет: $$ (33 + x + y) / (10 + 2) = (33 + x + y) / 12 $$.
3. Чтобы получить среднюю отметку 4, необходимо, чтобы $$ (33 + x + y) / 12 = 4 $$. Следовательно, $$ 33 + x + y = 48 $$, откуда $$ x + y = 48 - 33 = 15 $$.
4. Таким образом, Лене нужно получить за две контрольные работы в сумме 15 баллов. Например, она может получить две пятёрки (5 + 5 = 10, что меньше 15, следовательно, две пятерки не позволят получить отметку 4 в четверти) или две отметки 7.5 (что не допустимо, так как максимальная оценка - 5).
5. Таким образом, чтобы получить 4 в четверти, необходимо, чтобы сумма двух контрольных работ была 15. Т.к. максимальный балл - 5, то чтобы сумма двух баллов равнялась 15, необходимо набрать 5 и 5. Таким образом, 15/2 = 7.5. Следовательно, невозможно получить оценку 4 в четверти.

Ответ: а) Среднее арифметическое - 3.3, мода - 4. Лена предпочла бы использовать моду. б) Чтобы улучшить отметку, Лене нужно получить за две контрольные работы в сумме 15 баллов.