Решение задачи 117

Дано: тетраэдр $$ABCD$$, $$BC \perp AD$$, $$M$$ – середина $$AB$$, $$N$$ – середина $$AC$$.

Доказать: $$AD \perp MN$$.

Доказательство:

1. Т.к. $$M$$ – середина $$AB$$, $$N$$ – середина $$AC$$, то $$MN$$ – средняя линия $$\triangle ABC$$.
2. Следовательно, $$MN \parallel BC$$.
3. $$BC \perp AD$$ по условию.
4. Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой. Следовательно, $$AD \perp MN$$.

Что и требовалось доказать.