В тетраэдре ABCD медиана AA₁ грани ABC делится точкой K так, что AK : KA₁ = 3 : 7. Разложите вектор DK по векторам DA, DB, DC.

Решение:

Пусть \( \vec{DA} = \mathbf{a} \), \( \vec{DB} = \mathbf{b} \) и \( \vec{DC} = \mathbf{c} \).

Точка \( A_1 \) — середина ребра \( BC \), поэтому \( \vec{DA_1} = \frac{1}{2} (\vec{DB} + \vec{DC}) = \frac{1}{2} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) \).

Точка \( K \) делит отрезок \( AA_1 \) в отношении \( AK : KA_1 = 3 : 7 \). Это значит, что \( \vec{AK} = \frac{3}{10} \vec{AA_1} \) и \( \vec{KA_1} = \frac{7}{10} \vec{AA_1} \).

Выразим вектор \( \vec{DK} \) через \( \vec{DA} \) и \( \vec{AK} \):

\( \vec{DK} = \vec{DA} + \vec{AK} = \vec{DA} + \frac{3}{10} \vec{AA_1} \)

Теперь выразим \( \vec{AA_1} \) через \( \vec{DA} \), \( \vec{DA_1} \):

\( \vec{AA_1} = \vec{DA_1} - \vec{DA} = \frac{1}{2} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) - \mathbf{a} \)

Подставим это выражение для \( \vec{AA_1} \) в формулу для \( \vec{DK} \):

\( \vec{DK} = \mathbf{a} + \frac{3}{10} \left( \frac{1}{2} (\mathbf{b} + \mathbf{c}) - \mathbf{a} \right) \)

Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\( \vec{DK} = \mathbf{a} + \frac{3}{20} \mathbf{b} + \frac{3}{20} \mathbf{c} - \frac{3}{10} \mathbf{a} \)

\( \vec{DK} = \left( 1 - \frac{3}{10} \right) \mathbf{a} + \frac{3}{20} \mathbf{b} + \frac{3}{20} \mathbf{c} \)

\( \vec{DK} = \frac{7}{10} \mathbf{a} + \frac{3}{20} \mathbf{b} + \frac{3}{20} \mathbf{c} \)

Таким образом, разложение вектора \( \vec{DK} \) по векторам \( \vec{DA} \), \( \vec{DB} \), \( \vec{DC} \) имеет вид:

\( \vec{DK} = \frac{7}{10} \vec{DA} + \frac{3}{20} \vec{DB} + \frac{3}{20} \vec{DC} \)

Ответ: \( \vec{DK} = \frac{7}{10} \vec{DA} + \frac{3}{20} \vec{DB} + \frac{3}{20} \vec{DC} \).