4. В тетраэдре ABCD на ребре АВ выбрана точка М так, что АМ: МВ = 1:4. Плоскость в проходит через точку Ми параллельна плоскости грани ACD. Найдите площадь сечения, если площадь грани ACD равна 125.

Решение:

1. Пусть плоскость β пересекает ребро AB в точке M, ребро BC в точке N, а ребро BD в точке K. Тогда сечение – это треугольник MNK.

2. Так как плоскость β параллельна грани ACD, то прямая MN параллельна прямой AC, а прямая MK параллельна прямой AD.

3. Из параллельности MN и AC следует, что треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом подобия k = BM / BA.

   Так как AM : MB = 1 : 4, то BM / BA = 4 / 5. Следовательно, k = 4 / 5.

4. Аналогично, из параллельности MK и AD следует, что треугольник BMK подобен треугольнику BAD с тем же коэффициентом подобия k = 4 / 5.

5. Из подобия треугольников BMN и BAC, а также BMK и BAD следует, что треугольник MNK подобен треугольнику ACD с коэффициентом подобия k = 4 / 5.

6. Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента подобия. Таким образом, площадь треугольника MNK относится к площади треугольника ACD как (4 / 5)^2 = 16 / 25.

7. Площадь грани ACD равна 125, поэтому площадь сечения равна:

   \[ S_{MNK} = \frac{16}{25} \cdot 125 = 16 \cdot 5 = 80 \]