В тетраэдре DABC дано: ∠ADB = 48°, ∠BDC = 81°, ∠CDA = 90°, DA = 40 см, BD = 36 см, DC = 42 см. Найдите: а) рёбра основания ABC; б) площади всех боковых граней.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

а) Рёбра основания ABC

Применяем теорему косинусов к треугольнику ADB:

\(AB^2=AD^2+BD^2-2\cdot AD\cdot BD\cos\angle ADB=40^2+36^2-2\cdot40\cdot36\cos48^\circ\approx968.904\).

\(AB\approx31.127\) см.

Применяем теорему косинусов к треугольнику BDC:

\(BC^2=BD^2+DC^2-2\cdot BD\cdot DC\cos\angle BDC=36^2+42^2-2\cdot36\cdot42\cos81^\circ\approx2586.942\).

\(BC\approx50.862\) см.

В треугольнике ADC угол CDA прямой, поэтому:

\(AC^2=AD^2+DC^2=40^2+42^2=3364\), следовательно, \(AC=58\) см.

б) Площади боковых граней

Площадь треугольника равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

\(S_{DAB}=\frac12\cdot40\cdot36\cdot\sin48^\circ\approx535.064\) см².

\(S_{DBC}=\frac12\cdot36\cdot42\cdot\sin81^\circ\approx746.692\) см².

\(S_{DCA}=\frac12\cdot40\cdot42\cdot\sin90^\circ=840\) см².

Ответ: а) AB ≈ 31.127 см, BC ≈ 50.862 см, AC = 58 см; б) S_DAB ≈ 535.064 см², S_DBC ≈ 746.692 см², S_DCA = 840 см².