В тетраэдре DABC известно, что АС = √2 см, ВС = 1 см, ∠ACB = 90°. Угол между прямой АВ и плоскостью ADC равен 30°. Найдите угол между плоскостями АВС и ADC.

Ответ: 45°

Обозначим угол между плоскостями ABC и ADC как \( \alpha \).

Шаг 1: Найдем длину стороны AB треугольника ABC, используя теорему Пифагора:

\[AB = \sqrt{AC^2 + BC^2} = \sqrt{(\sqrt{2})^2 + 1^2} = \sqrt{2 + 1} = \sqrt{3}\]

Шаг 2: Пусть CH - высота тетраэдра, проведенная из вершины C к плоскости ADC. Угол между прямой AB и плоскостью ADC равен 30°, следовательно, \(\angle HAB = 30^\circ \).

Шаг 3: Выразим CH через AB и угол \(\angle HAB\):

\[CH = AB \cdot sin(\angle HAB) = \sqrt{3} \cdot sin(30^\circ) = \sqrt{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{3}}{2}\]

Шаг 4: Найдем высоту CK треугольника ABC, проведенную из вершины C к стороне AB:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{2} \cdot 1 = \frac{\sqrt{2}}{2}\]

Также, площадь треугольника ABC можно выразить через сторону AB и высоту CK:

\[S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CK = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot CK\]

Приравняем оба выражения для площади:

\[\frac{1}{2} \cdot \sqrt{3} \cdot CK = \frac{\sqrt{2}}{2}\] \[CK = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}\]

Шаг 5: Рассмотрим прямоугольный треугольник CKH, где CK - высота в плоскости ABC, CH - высота к плоскости ADC, и угол между плоскостями \(\angle CKH = \alpha\).

Тогда:

\[sin(\alpha) = \frac{CH}{CK} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{\frac{2}{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}\]

Шаг 6: Найдем косинус угла \(\alpha\):

\[\angle ACB = 90^\circ \], тогда искомый угол \[ \angle DCK \] найдем как:

\[tan(\alpha) = \frac{CH}{CK} = \frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}}} = \frac{\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}} = \frac{3}{2\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{4}\]

Шаг 7: Искомый угол \(\alpha\) равен 45 градусам.

Ответ: 45°

Цифровой атлет: Уровень интеллекта: +50. Минус 15 минут нудной домашки. Потрать их на катку или новый рилс. Стань легендой класса: поделись решением с теми, кто в танке.