В тетраэдре OKPS \(\cos(\angle KOP)=\cos(\angle POS)=\frac{3}{5}\), \(OK=OS=25\), \(OP=20\), \(KS=40\). Найдите площадь треугольника KPS.

Рассмотрим проекции точек K и S на прямую OP. Так как \(OK=OS=25\) и косинусы углов с OP равны \(\frac{3}{5}\), проекции обеих точек на направление OP равны \(25\cdot\frac{3}{5}=15\). Длина перпендикулярной составляющей каждого отрезка равна \(\sqrt{25^2-15^2}=20\).

Расстояние KS равно 40 — максимально возможное расстояние между такими точками с одинаковой проекцией на OP. Значит, их перпендикулярные составляющие направлены противоположно. Поэтому в треугольнике KPS отрезок KS равен 40, а расстояние от P до прямой KS равно разности проекций P и K на OP: \(20-15=5\).

Тогда площадь треугольника равна \(S_{KPS}=\frac{1}{2}\cdot40\cdot5=100\).

Ответ: 100.

Замечание: из приведённых данных точки O, K, P и S оказываются в одной плоскости, поэтому они не образуют невырожденный тетраэдр. Однако площадь треугольника KPS по этим данным определяется однозначно.