В. Тип В № 352347 i Найдите значение выражения \frac{pq}{p+q} \cdot (\frac{q}{p} - \frac{p}{q}) при p=3-2√2, q=-2√2

Дано: \(p = 3 - 2\sqrt{2}\), \(q = -2\sqrt{2}\). Выражение: \(\frac{pq}{p+q} \cdot (\frac{q}{p} - \frac{p}{q})\) Подставим значения \(p\) и \(q\) в выражение: \[\frac{(3 - 2\sqrt{2})(-2\sqrt{2})}{(3 - 2\sqrt{2}) + (-2\sqrt{2})} \cdot (\frac{-2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{3 - 2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}})\] Сначала упростим первую часть выражения: \[\frac{(3 - 2\sqrt{2})(-2\sqrt{2})}{3 - 2\sqrt{2} - 2\sqrt{2}} = \frac{-6\sqrt{2} + 8}{3 - 4\sqrt{2}}\] Теперь упростим вторую часть выражения: \[\frac{-2\sqrt{2}}{3 - 2\sqrt{2}} - \frac{3 - 2\sqrt{2}}{-2\sqrt{2}} = \frac{(-2\sqrt{2})^2 - (3 - 2\sqrt{2})^2}{(-2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2})}\] Раскроем скобки в числителе: \[(-2\sqrt{2})^2 = 8\] \[(3 - 2\sqrt{2})^2 = 9 - 12\sqrt{2} + 8 = 17 - 12\sqrt{2}\] Подставим обратно в числитель: \[8 - (17 - 12\sqrt{2}) = 8 - 17 + 12\sqrt{2} = -9 + 12\sqrt{2}\] Раскроем скобки в знаменателе: \[(-2\sqrt{2})(3 - 2\sqrt{2}) = -6\sqrt{2} + 8\] Вторая часть выражения теперь выглядит так: \[\frac{-9 + 12\sqrt{2}}{-6\sqrt{2} + 8}\] Теперь умножим первую часть на вторую: \[\frac{-6\sqrt{2} + 8}{3 - 4\sqrt{2}} \cdot \frac{-9 + 12\sqrt{2}}{-6\sqrt{2} + 8} = \frac{-9 + 12\sqrt{2}}{3 - 4\sqrt{2}}\] Упростим выражение, разделив числитель и знаменатель на \(3 - 4\sqrt{2}\) (умножим числитель и знаменатель на сопряженное \(3 + 4\sqrt{2}\)): \[\frac{(-9 + 12\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})}{(3 - 4\sqrt{2})(3 + 4\sqrt{2})} = \frac{-27 - 36\sqrt{2} + 36\sqrt{2} + 96}{9 - 16(2)} = \frac{69}{-23} = -3\]

Ответ: -3

Проверка за 10 секунд: Сначала упрости выражение символьно, потом подставь значения.

Уровень эксперт: Для упрощения вычислений используй сопряженные выражения.