В трапеции \(ABCD\) \(\angle A = \angle D\). \(O\) — центр вписанной окружности \(AM = 9\), \(CN = 4\). Найдите периметр трапеции.

Question

Вопрос:

В трапеции \(ABCD\) \(\angle A = \angle D\). \(O\) — центр вписанной окружности \(AM = 9\), \(CN = 4\). Найдите периметр трапеции.

Ответ:

ФИО:Телефон:Емаил:Полное описание сути нарушения прав (почему распространение данной информации запрещено Правообладателем):

Accepted Answer

Краткое пояснение: Поскольку в трапецию вписана окружность, сумма ее оснований равна сумме боковых сторон. А так как трапеция равнобедренная, то ее периметр равен удвоенной сумме оснований.

Пошаговое решение:

Трапеция \(ABCD\) равнобедренная, так как углы при основании \(AD\) равны: \(\angle A = \angle D\).
Поскольку в трапецию вписана окружность, суммы противоположных сторон равны: \(AB + CD = BC + AD\).
Так как трапеция равнобедренная, \(AB = CD\), следовательно, \(2AB = BC + AD\).
Найдем боковую сторону \(AB\). Опустим высоту \(BH\) на основание \(AD\). Тогда \(AH = AM = 9\). Аналогично, \(DN = CN = 4\).
\(AD = AH + HD = AM + CN = 9 + 4 = 13\)
Рассмотрим прямоугольный треугольник \(ABH\). \(AH = AM = 9\).
\(AB = AM + CN = 9 + 4 = 13\).
Тогда, \(BC + AD = 2AB = 2 \cdot 13 = 26\)

Периметр трапеции:

\(P = AB + BC + CD + AD = 2(BC + AD) = 2 \cdot 26 = 52\)

Ответ: 52