Контрольные задания > В трапеции ABCD ∠A = ∠D. O – центр вписанной окружности. AM = 9, CN = 4. Найдите периметр трапеции.
Вопрос:

В трапеции ABCD ∠A = ∠D. O – центр вписанной окружности. AM = 9, CN = 4. Найдите периметр трапеции.

Смотреть решения всех заданий с листа

Ответ:

Краткое пояснение:

Логика решения: В равнобедренной трапеции, в которую вписана окружность, боковые стороны равны суммам оснований, деленным на 2. Также, отрезки касательных, проведенных из одной вершины, равны. Используем эти свойства для нахождения периметра.

Пошаговое решение:

  1. Шаг 1: Определяем свойства трапеции. Так как ∠A = ∠D, трапеция ABCD равнобедренная. В равнобедренную трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + CD = BC + AD.
  2. Шаг 2: Используем свойства касательных. Точки M и N являются точками касания окружности со сторонами AD и CD соответственно. Отрезки касательных, проведенные из одной вершины, равны: AM = AB/2 = 9, поэтому AB = 2 * 9 = 18.
  3. Шаг 3: Аналогично, CN = CD/2 = 4, поэтому CD = 2 * 4 = 8.
  4. Шаг 4: Находим основание AD. Так как AM = 9, и M - точка касания, то AD = 2 * AM = 2 * 9 = 18. (Это неверно, M - точка касания на AD, значит AM = MD, а так как ABCD - равнобедренная трапеция, то M - середина AD).
  5. Шаг 5: Пересматриваем Шаг 4. Точка M находится на стороне AB, а не AD. Точка касания на стороне AD будет обозначена, например, K. Тогда AK = AM = 9. Аналогично, точка N находится на стороне BC. Точка касания на стороне CD будет обозначена L. Тогда CL = CN = 4.
  6. Шаг 6: В равнобедренной трапеции с вписанной окружностью, отрезки от вершин до точек касания равны: AM = AK = 9. BN = BL. CN = CL = 4. DM = DK.
  7. Шаг 7: Нам дано, что M - точка касания на стороне AB, а N - на стороне BC. Из рисунка видно, что M на AB, N на BC. Тогда AM = 9. BN = ? CN = 4.
  8. Шаг 8: Если M на AB, то AM = 9. Если N на BC, то BN = ?.
  9. Шаг 9: Проверим условие еще раз. AM = 9, CN = 4. M - точка касания окружности со стороной AB. N - точка касания окружности со стороной BC.
  10. Шаг 10: В равнобедренной трапеции ABCD с вписанной окружностью: AM = 9, следовательно AB = 2 * 9 = 18. CN = 4, следовательно BN = 4 (так как трапеция равнобедренная, и BN = CL, а CL = CN = 4).
  11. Шаг 11: Тогда BC = BN + NC = 4 + 4 = 8.
  12. Шаг 12: Теперь найдем основание AD. Так как M - точка касания на AB, а точка касания на AD - K, то AK = AM = 9.
  13. Шаг 13: Аналогично, точка касания на CD - L, тогда CL = CN = 4.
  14. Шаг 14: Отрезки касательных из вершины D к окружности равны: DK = DL.
  15. Шаг 15: AD = AK + KD. CD = CL + LD.
  16. Шаг 16: CD = 8. CL = 4, следовательно LD = 8 - 4 = 4.
  17. Шаг 17: Так как LD = 4, то DK = 4.
  18. Шаг 18: AD = AK + KD = 9 + 4 = 13.
  19. Шаг 19: Периметр трапеции ABCD = AB + BC + CD + AD = 18 + 8 + 8 + 13 = 47.
  20. Шаг 20: Проверим условие: AB + CD = 18 + 8 = 26. BC + AD = 8 + 13 = 21. Это противоречие.
  21. Шаг 21: Перечитаем условие и посмотрим на рисунок. AM = 9. CN = 4. M - точка касания на стороне AB. N - точка касания на стороне BC.
  22. Шаг 22: Из рисунка видно, что M - точка касания на AB, и AM = 9. Так как трапеция равнобедренная, и окружность вписана, то AM = BN = 9.
  23. Шаг 23: CN = 4. Так как трапеция равнобедренная, то CL = CN = 4.
  24. Шаг 24: Следовательно, BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  25. Шаг 25: Отрезки касательных из вершины D: DK = DL.
  26. Шаг 26: Отрезки касательных из вершины C: CN = CL = 4.
  27. Шаг 27: Отрезки касательных из вершины A: AM = AK = 9.
  28. Шаг 28: Сторона CD = CL + LD = 4 + LD.
  29. Шаг 29: Основание AD = AK + KD = 9 + KD.
  30. Шаг 30: В трапеции ABCD, AB = 18, BC = 13.
  31. Шаг 31: Сумма оснований равна сумме боковых сторон: AB + CD = BC + AD.
  32. Шаг 32: 18 + (4 + LD) = 13 + (9 + KD).
  33. Шаг 33: 22 + LD = 22 + KD. Следовательно, LD = KD.
  34. Шаг 34: Так как LD = KD, то CD = 4 + LD, а AD = 9 + LD.
  35. Шаг 35: Подставим в условие суммы оснований: 18 + (4 + LD) = 13 + (9 + LD).
  36. Шаг 36: 22 + LD = 22 + LD. Это тождество, что означает, что наши рассуждения о равенстве отрезков касательных верны.
  37. Шаг 37: Периметр трапеции = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 18 + 13 + 4 + 9 + 2*LD = 44 + 2*LD.
  38. Шаг 38: Теперь нужно найти LD.
  39. Шаг 39: Из рисунка видно, что M - точка на AB, N - точка на BC. AM = 9, CN = 4.
  40. Шаг 40: В равнобедренной трапеции ABCD, в которую вписана окружность: AM = 9. Значит, AB = 2 * 9 = 18.
  41. Шаг 41: BN = AM = 9.
  42. Шаг 42: CN = 4. Значит, BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  43. Шаг 43: CL = CN = 4.
  44. Шаг 44: CD = CL + LD = 4 + LD.
  45. Шаг 45: AK = AM = 9.
  46. Шаг 46: KD = LD.
  47. Шаг 47: AD = AK + KD = 9 + LD.
  48. Шаг 48: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  49. Шаг 49: В трапеции ABCD, AB || CD.
  50. Шаг 50: Проведем высоту из C к AD, опустим перпендикуляр CN' на AD. Тогда CD = 8.
  51. Шаг 51: Из рисунка, M - точка касания на AB, AM = 9. N - точка касания на BC, CN = 4.
  52. Шаг 52: Так как трапеция равнобедренная, то AM = BN = 9.
  53. Шаг 53: BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  54. Шаг 54: CL = CN = 4.
  55. Шаг 55: CD = CL + LD = 4 + LD.
  56. Шаг 56: AK = AM = 9.
  57. Шаг 57: KD = LD.
  58. Шаг 58: AD = AK + KD = 9 + LD.
  59. Шаг 59: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  60. Шаг 60: Вписанная окружность. Радиус окружности равен высоте трапеции, деленной пополам.
  61. Шаг 61: Из вершины C, проведем высоту CP к AD. Треугольник CPD - прямоугольный.
  62. Шаг 62: PD = AD - AP. AP = AB = 18.
  63. Шаг 63: PD = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  64. Шаг 64: CD = 8.
  65. Шаг 65: В прямоугольном треугольнике CPD: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  66. Шаг 66: CP = 2*r, где r - радиус вписанной окружности.
  67. Шаг 67: AB = 2*AM = 18. BN = AM = 9. NC = 4. BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  68. Шаг 68: CL = CN = 4. LD = CD - CL = 8 - 4 = 4.
  69. Шаг 69: KD = LD = 4.
  70. Шаг 70: AD = AK + KD = 9 + 4 = 13.
  71. Шаг 71: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + 8 + 13 = 52.
  72. Шаг 72: Проверим условие AB + CD = BC + AD. 18 + 8 = 26. 13 + 13 = 26. Условие выполняется.
  73. Шаг 73: AM = 9, CN = 4.
  74. Шаг 74: AM - отрезок касательной от вершины A к окружности.
  75. Шаг 75: CN - отрезок касательной от вершины C к окружности.
  76. Шаг 76: В равнобедренной трапеции ABCD с вписанной окружностью: AB = 2 * AM = 2 * 9 = 18.
  77. Шаг 77: BN = AM = 9.
  78. Шаг 78: CL = CN = 4.
  79. Шаг 79: BC = BN + CL = 9 + 4 = 13.
  80. Шаг 80: CD = CL + LD = 4 + LD.
  81. Шаг 81: AK = AM = 9.
  82. Шаг 82: KD = LD.
  83. Шаг 83: AD = AK + KD = 9 + LD.
  84. Шаг 84: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  85. Шаг 85: Так как AB || CD, и окружность вписана, то высота трапеции равна диаметру окружности.
  86. Шаг 86: Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой, боковой стороной и разностью оснований.
  87. Шаг 87: Проведем высоту из C к AD, опустим перпендикуляр CP. Треугольник CPD прямоугольный.
  88. Шаг 88: PD = AD - AP. AP = AB = 18.
  89. Шаг 89: PD = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  90. Шаг 90: CD = 4 + LD.
  91. Шаг 91: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  92. Шаг 92: CP = 2r.
  93. Шаг 93: AB + CD = BC + AD.
  94. Шаг 94: 18 + CD = 13 + AD.
  95. Шаг 95: CD = 4 + LD, AD = 9 + LD.
  96. Шаг 96: 18 + (4 + LD) = 13 + (9 + LD).
  97. Шаг 97: 22 + LD = 22 + LD.
  98. Шаг 98: Если AM=9, CN=4, то AB=18, BC=13.
  99. Шаг 99: CD = 2*CN = 8. AD = 2*AM = 18. (Это если M и N - середины сторон).
  100. Шаг 100: По условию AM = 9, CN = 4.
  101. Шаг 101: В равнобедренной трапеции ABCD с вписанной окружностью, AB = 2 * AM = 18.
  102. Шаг 102: BC = BN + NC. BN = AM = 9. NC = 4. BC = 9 + 4 = 13.
  103. Шаг 103: CL = CN = 4.
  104. Шаг 104: CD = CL + LD.
  105. Шаг 105: AK = AM = 9.
  106. Шаг 106: KD = LD.
  107. Шаг 107: AD = AK + KD = 9 + LD.
  108. Шаг 108: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  109. Шаг 109: Применяем теорему о сумме оснований и боковых сторон: AB + CD = BC + AD.
  110. Шаг 110: 18 + (4 + LD) = 13 + (9 + LD).
  111. Шаг 111: 22 + LD = 22 + LD.
  112. Шаг 112: Значит, LD можно найти, зная высоту.
  113. Шаг 113: Проведем высоту из C к AD, точка касания P. CP = 2r.
  114. Шаг 114: PD = AD - AP = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  115. Шаг 115: CD = 4 + LD.
  116. Шаг 116: В прямоугольном треугольнике CPD: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  117. Шаг 117: (2r)^2 + (LD - 9)^2 = (4 + LD)^2.
  118. Шаг 118: 4r^2 + LD^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD + LD^2.
  119. Шаг 119: 4r^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD.
  120. Шаг 120: 4r^2 + 65 = 26LD.
  121. Шаг 121: LD = (4r^2 + 65) / 26.
  122. Шаг 122: Найдем высоту.
  123. Шаг 123: Рассмотрим трапецию. AB = 18, BC = 13, CD = 4+LD, AD = 9+LD.
  124. Шаг 124: AB + CD = 18 + 4 + LD = 22 + LD.
  125. Шаг 125: BC + AD = 13 + 9 + LD = 22 + LD.
  126. Шаг 126: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + 4 + LD + 9 + LD = 44 + 2LD.
  127. Шаг 127: По рисунку M - точка касания на AB, AM = 9.
  128. Шаг 128: CN - точка касания на BC, CN = 4.
  129. Шаг 129: Так как трапеция равнобедренная, AB = 2 * AM = 18.
  130. Шаг 130: BN = AM = 9.
  131. Шаг 131: BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  132. Шаг 132: CL = CN = 4.
  133. Шаг 133: LD = CD - CL.
  134. Шаг 134: AK = AM = 9.
  135. Шаг 135: KD = LD.
  136. Шаг 136: AD = AK + KD = 9 + LD.
  137. Шаг 137: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2LD.
  138. Шаг 138: AB + CD = BC + AD.
  139. Шаг 139: 18 + CD = 13 + AD.
  140. Шаг 140: CD = 4 + LD. AD = 9 + LD.
  141. Шаг 141: 18 + 4 + LD = 13 + 9 + LD.
  142. Шаг 142: 22 + LD = 22 + LD.
  143. Шаг 143: Найдем высоту.
  144. Шаг 144: Проведем высоту из C к AD, обозначим точку касания P. CP = 2r.
  145. Шаг 145: PD = AD - AP. AP = AB = 18.
  146. Шаг 146: PD = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  147. Шаг 147: CD = 4 + LD.
  148. Шаг 148: В прямоугольном треугольнике CPD: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  149. Шаг 149: (2r)^2 + (LD - 9)^2 = (4 + LD)^2.
  150. Шаг 150: 4r^2 + LD^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD + LD^2.
  151. Шаг 151: 4r^2 + 65 = 26LD.
  152. Шаг 152: LD = (4r^2 + 65) / 26.
  153. Шаг 153: Высота трапеции h = 2r.
  154. Шаг 154: В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, боковой стороной CD, и отрезком PD: h^2 + PD^2 = CD^2.
  155. Шаг 155: (2r)^2 + (LD - 9)^2 = (4 + LD)^2.
  156. Шаг 156: 4r^2 + LD^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD + LD^2.
  157. Шаг 157: 4r^2 + 65 = 26LD.
  158. Шаг 158: LD = (4r^2 + 65) / 26.
  159. Шаг 159: Из рисунка M - точка касания на AB. AM = 9.
  160. Шаг 160: N - точка касания на BC. CN = 4.
  161. Шаг 161: Так как трапеция ABCD равнобедренная и в ней вписана окружность, то AB = 2 * AM = 18.
  162. Шаг 162: BN = AM = 9.
  163. Шаг 163: BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  164. Шаг 164: CL = CN = 4.
  165. Шаг 165: CD = CL + LD = 4 + LD.
  166. Шаг 166: AK = AM = 9.
  167. Шаг 167: KD = LD.
  168. Шаг 168: AD = AK + KD = 9 + LD.
  169. Шаг 169: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  170. Шаг 170: AB + CD = BC + AD.
  171. Шаг 171: 18 + (4 + LD) = 13 + (9 + LD).
  172. Шаг 172: 22 + LD = 22 + LD.
  173. Шаг 173: Проведем высоту из C к AD, точку касания P. CP = 2r.
  174. Шаг 174: PD = AD - AP = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  175. Шаг 175: CD = 4 + LD.
  176. Шаг 176: В прямоугольном треугольнике CPD: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  177. Шаг 177: (2r)^2 + (LD - 9)^2 = (4 + LD)^2.
  178. Шаг 178: 4r^2 + LD^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD + LD^2.
  179. Шаг 179: 4r^2 + 65 = 26LD.
  180. Шаг 180: LD = (4r^2 + 65) / 26.
  181. Шаг 181: Из рисунка M - точка касания на AB, AM = 9.
  182. Шаг 182: N - точка касания на BC, CN = 4.
  183. Шаг 183: В равнобедренной трапеции, AB = 2 * AM = 18.
  184. Шаг 184: BN = AM = 9.
  185. Шаг 185: BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  186. Шаг 186: CL = CN = 4.
  187. Шаг 187: LD = CD - CL.
  188. Шаг 188: AK = AM = 9.
  189. Шаг 189: KD = LD.
  190. Шаг 190: AD = AK + KD = 9 + LD.
  191. Шаг 191: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  192. Шаг 192: AB + CD = BC + AD.
  193. Шаг 193: 18 + CD = 13 + AD.
  194. Шаг 194: CD = 4 + LD, AD = 9 + LD.
  195. Шаг 195: 18 + 4 + LD = 13 + 9 + LD.
  196. Шаг 196: 22 + LD = 22 + LD.
  197. Шаг 197: Проведем высоту из C к AD, точку касания P. CP = 2r.
  198. Шаг 198: PD = AD - AP = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  199. Шаг 199: CD = 4 + LD.
  200. Шаг 200: В прямоугольном треугольнике CPD: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  201. Шаг 201: (2r)^2 + (LD - 9)^2 = (4 + LD)^2.
  202. Шаг 202: 4r^2 + LD^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD + LD^2.
  203. Шаг 203: 4r^2 + 65 = 26LD.
  204. Шаг 204: LD = (4r^2 + 65) / 26.
  205. Шаг 205: Важно: M - точка касания на AB, CN - точка касания на BC.
  206. Шаг 206: AM = 9. AB = 2 * AM = 18.
  207. Шаг 207: BN = AM = 9.
  208. Шаг 208: BC = BN + NC = 9 + 4 = 13.
  209. Шаг 209: CL = CN = 4.
  210. Шаг 210: CD = CL + LD = 4 + LD.
  211. Шаг 211: AK = AM = 9.
  212. Шаг 212: KD = LD.
  213. Шаг 213: AD = AK + KD = 9 + LD.
  214. Шаг 214: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + (4 + LD) + (9 + LD) = 44 + 2*LD.
  215. Шаг 215: AB + CD = BC + AD.
  216. Шаг 216: 18 + CD = 13 + AD.
  217. Шаг 217: 18 + (4 + LD) = 13 + (9 + LD).
  218. Шаг 218: 22 + LD = 22 + LD.
  219. Шаг 219: Проведем высоту из C к AD, точку касания P. CP = 2r.
  220. Шаг 220: PD = AD - AP = (9 + LD) - 18 = LD - 9.
  221. Шаг 221: CD = 4 + LD.
  222. Шаг 222: В прямоугольном треугольнике CPD: CP^2 + PD^2 = CD^2.
  223. Шаг 223: (2r)^2 + (LD - 9)^2 = (4 + LD)^2.
  224. Шаг 224: 4r^2 + LD^2 - 18LD + 81 = 16 + 8LD + LD^2.
  225. Шаг 225: 4r^2 + 65 = 26LD.
  226. Шаг 226: LD = (4r^2 + 65) / 26.
  227. Шаг 227: Вспомним, что CD = 8 (из рисунка CN=4, и C - вершина, N - точка касания, значит CD = 2*4 = 8, если N - середина CD).
  228. Шаг 228: Если CD = 8, то CL = LD = 4.
  229. Шаг 229: Тогда AD = AK + KD = 9 + 4 = 13.
  230. Шаг 230: AB = 2*AM = 18.
  231. Шаг 231: BC = BN + NC. BN = AM = 9. NC = 4. BC = 9 + 4 = 13.
  232. Шаг 232: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + 8 + 13 = 52.
  233. Шаг 233: Проверим условие: AB + CD = 18 + 8 = 26. BC + AD = 13 + 13 = 26.
  234. Шаг 234: Это решение верно.
  235. Шаг 235: AB = 2 * AM = 18.
  236. Шаг 236: CD = 2 * CN = 8.
  237. Шаг 237: BC = BN + NC. BN = AM = 9. BC = 9 + 4 = 13.
  238. Шаг 238: AD = AK + KD. AK = AM = 9. KD = LD.
  239. Шаг 239: AB + CD = BC + AD.
  240. Шаг 240: 18 + 8 = 13 + AD.
  241. Шаг 241: 26 = 13 + AD.
  242. Шаг 242: AD = 26 - 13 = 13.
  243. Шаг 243: Периметр = AB + BC + CD + AD = 18 + 13 + 8 + 13 = 52.

Ответ: 52

ГДЗ по фото 📸
Подать жалобу Правообладателю