В трапеции ABCD (AB || CD), отношение оснований равно 2 : 3 и диагонали пересекаются в точке O. Найдите площадь треугольника COD, если площадь треугольника AOD равна 6.

Площади треугольников, образованных при пересечении диагоналей трапеции, обладают определенными свойствами. Рассмотрим трапецию $$ABCD$$, где $$AB$$ и $$CD$$ – основания, и $$O$$ – точка пересечения диагоналей. Треугольники $$AOD$$ и $$BOC$$ равновелики, то есть имеют равные площади. Также, площади треугольников $$AOB$$ и $$COD$$ относятся как квадраты длин оснований трапеции. Обозначим площадь треугольника $$AOD$$ как $$S_{AOD}$$, площадь треугольника $$BOC$$ как $$S_{BOC}$$, площадь треугольника $$AOB$$ как $$S_{AOB}$$ и площадь треугольника $$COD$$ как $$S_{COD}$$. Дано, что $$S_{AOD} = 6$$ и отношение оснований $$AB : CD = 2 : 3$$. Следовательно, $$S_{AOD} = S_{BOC} = 6$$. Площади треугольников $$AOB$$ и $$COD$$ относятся как квадраты длин оснований: $$\frac{S_{AOB}}{S_{COD}} = \left(\frac{AB}{CD}\right)^2 = \left(\frac{2}{3}\right)^2 = \frac{4}{9}$$ Также известно, что $$\frac{S_{AOB}}{S_{AOD}} = \frac{AB}{CD} = \frac{2}{3}$$. Тогда $$S_{AOB} = \frac{2}{3} S_{AOD} = \frac{2}{3} \cdot 6 = 4$$. Теперь, используя отношение площадей $$AOB$$ и $$COD$$: $$\frac{S_{AOB}}{S_{COD}} = \frac{4}{9}$$ Подставим $$S_{AOB} = 4$$: $$\frac{4}{S_{COD}} = \frac{4}{9}$$ $$S_{COD} = \frac{4 \cdot 9}{4} = 9$$ Таким образом, площадь треугольника $$COD$$ равна 9. **Ответ: 9**