В трапеции ABCD AB=CD, ∠BDA=14° и ∠BDC=117°. Найдите ∠ABD.

1. Так как AB=CD, трапеция ABCD равнобедренная. Следовательно, углы при основании равны: ∠BAC = ∠CDB и ∠ABD = ∠ACD.

2. Угол ∠ADC = ∠BDA + ∠BDC = 14° + 117° = 131°.

3. В равнобедренной трапеции углы при каждом основании равны, поэтому ∠BCD = ∠ADC = 131°.

4. Сумма углов трапеции равна 360°. В равнобедренной трапеции сумма углов при боковой стороне равна 180°, т.е. ∠ABC + ∠BCD = 180°.

5. ∠ABC = 180° - ∠BCD = 180° - 131° = 49°.

6. Угол ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC. Угол ∠DBC = ∠BDC = 117° (как накрест лежащие при параллельных основаниях AD и BC и секущей BD).

7. ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 49° - 117° = -68°. Это противоречие.

8. Пересмотрим условие. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. ∠DBC и ∠BDA являются накрест лежащими углами при параллельных прямых AD и BC и секущей BD. Следовательно, ∠DBC = ∠BDA = 14°.

9. Угол ∠ABC = ∠ABD + ∠DBC.

10. В равнобедренной трапеции углы при основании равны. Угол ∠BCD = ∠ADC = 131°.

11. Сумма углов трапеции равна 360°. ∠BAD + ∠ABC + ∠BCD + ∠ADC = 360°.

12. ∠BAD + ∠ABC + 131° + 131° = 360°. ∠BAD + ∠ABC = 360° - 262° = 98°.

13. В равнобедренной трапеции углы при основании равны, поэтому ∠BAD = ∠ABC.

14. 2 * ∠ABC = 98°, следовательно ∠ABC = 49°.

15. ∠ABD = ∠ABC - ∠DBC = 49° - 14° = 35°.

Ответ: 35