В трапеции ABCD AC ⊥ CD, ∠BCD = 120°, CD = 10 см. Найдите AD.

Решение:

Так как \( AC \perp CD \), то \( \angle ACD = 90^{\circ} \).

В трапеции ABCD \( AB \parallel CD \).

Так как \( AB \parallel CD \) и \( AC \perp CD \), то \( AC \perp AB \), следовательно \( \angle BAC = 90^{\circ} \).

Угол \( \angle BCD = 120^{\circ} \).

Из \( \angle BCD = 120^{\circ} \) и \( \angle ACD = 90^{\circ} \), следует, что \( \angle ACB = \angle BCD - \angle ACD = 120^{\circ} - 90^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACB \):

\( AB = AC \cdot \tan(30^{\circ}) \)

\( BC = \frac{AC}{\cos(30^{\circ})} \)

В трапеции ABCD \( \angle ADC + \angle BCD = 180^{\circ} \) (как односторонние углы при параллельных \( AB \parallel CD \) и секущей \( BC \)).

\( \angle ADC = 180^{\circ} - 120^{\circ} = 60^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ACD \):

\( AD = \frac{CD}{\cos(\angle ADC)} = \frac{10}{\cos(60^{\circ})} = \frac{10}{0.5} = 20 \) см.

Ответ: AD = 20 см.