В трапеции ABCD (AD и BC — основания) ∠A = 90°, ∠C = 135°, AB = 2 см. Найдите среднюю линию трапеции, если её диагональ перпендикулярна к боковой стороне.

Так как основания параллельны, углы C и D, прилежащие к боковой стороне CD, в сумме равны 180°:

\(\angle D=180^\circ-135^\circ=45^\circ\).

Высота трапеции равна AB, то есть 2 см. При угле D в 45° горизонтальная проекция боковой стороны CD тоже равна 2 см. Поэтому \(AD-BC=2\).

Диагональ AC перпендикулярна CD: их горизонтальная и вертикальная составляющие дают условие \(BC\cdot 2-2\cdot 2=0\), откуда \(BC=2\) см. Тогда \(AD=BC+2=4\) см.

Средняя линия равна полусумме оснований:

\(m=\frac{AD+BC}{2}=\frac{4+2}{2}=3\) см.

Ответ: 3 см.