В трапеции ABCD (BC || AD) M — точка пересечения диагоналей, BM : MD = 1 : 3. Найдите меньшее основание трапеции, если её средняя линия равна 8 см.

Решение:

В трапеции ABCD, где \( BC \parallel AD \), точка M является точкой пересечения диагоналей AC и BD. Дано соотношение \( BM : MD = 1 : 3 \). Средняя линия трапеции равна 8 см.

Средняя линия трапеции (обозначим её \( m \)) вычисляется по формуле: \( m = \frac{a + b}{2} \), где \( a \) и \( b \) — основания трапеции.

По условию \( m = 8 \) см, значит, \( \frac{a + b}{2} = 8 \), откуда \( a + b = 16 \) см.

Рассмотрим треугольники \( \triangle BMC \) и \( \triangle DMA \). Так как \( BC \parallel AD \), эти треугольники подобны по двум углам (признак подобия по двум углам):

• \( \angle BCM = \angle DAM \) (как накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \parallel AD \) и секущей \( AC \)).
• \( \angle CBM = \angle ADM \) (как накрест лежащие при параллельных прямых \( BC \parallel AD \) и секущей \( BD \)).

Из подобия треугольников следует соотношение сторон:

\( \frac{BM}{MD} = \frac{BC}{AD} = \frac{MC}{MA} \)

По условию \( BM : MD = 1 : 3 \), следовательно, \( \frac{BC}{AD} = \frac{1}{3} \).

Пусть меньшее основание \( BC = x \) см, тогда большее основание \( AD = 3x \) см.

Подставим эти значения в уравнение для суммы оснований:

\( x + 3x = 16 \)

\( 4x = 16 \)

\( x = \frac{16}{4} \)

\( x = 4 \) см.

Таким образом, меньшее основание \( BC = 4 \) см.

Ответ: 4 см.