Контрольные задания
Вопрос:

В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, \( \angle D = 60^{\circ} \).

Фото задания: В трапеции ABCD диагональ AC перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если…Фото задания

Ответ:

Решение:

Дано: Трапеция ABCD, \( AC \perp CD \), AC — биссектриса \( \angle A \), \( P = 35 \) см, \( \angle D = 60^{\circ} \).

Найти: AB.

  1. Так как \( AC \perp CD \) и \( CD \) — основание трапеции, то \( \angle ACD = 90^{\circ} \).
  2. В \( \triangle ACD \): \( \angle CAD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).
  3. Так как AC — биссектриса \( \angle A \), то \( \angle BAC = \angle CAD = 30^{\circ} \).
  4. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle ACB = \angle CAD = 30^{\circ} \) как накрест лежащие при параллельных AB и CD и секущей AC.
  5. В \( \triangle ABC \): \( \angle ABC = 180^{\circ} - \angle BAC - \angle ACB = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).
  6. Так как \( \angle A = \angle CAD + \angle BAC = 30^{\circ} + 30^{\circ} = 60^{\circ} \).
  7. \( \angle B = 120^{\circ} \), \( \angle C = \angle ACB + \angle ACD = 30^{\circ} + 90^{\circ} = 120^{\circ} \).
  8. \( \angle D = 60^{\circ} \).
  9. Трапеция равнобедренная, так как \( \angle A = \angle B = 120^{\circ} \) (неверно, \( \angle A = 60^{\circ} \) и \( \angle B = 120^{\circ} \)).
  10. Рассмотрим \( \triangle ACD \). Пусть \( CD = x \). Тогда \( AD = 2x \) (катет, лежащий против угла в \( 30^{\circ} \), равен половине гипотенузы).
  11. \( AC = CD \) tg \( 60^{\circ} = x \sqrt{3} \).
  12. Так как \( AB \parallel CD \), то \( \angle BAC = \angle ACD = 90^{\circ} \) (неверно, \( \angle ACD = 90^{\circ} \)). \( \angle BAC = \angle ACD = 30^{\circ} \) как накрест лежащие.
  13. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle ABC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \). \( AB = BC \) (равнобедренный \( \triangle ABC \)).
  14. Из \( \triangle ACD \): \( CD = AD orward{\cos{60^{\circ}}} = AD \cdot \frac{1}{2} \), \( AC = AD orward{\sin{60^{\circ}}} = AD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \).
  15. В \( \triangle ACD \), \( AC = CD orward{\tan{30^{\circ}}} = CD / \sqrt{3} \).
  16. Из \( \triangle ACD \), \( CD = AC \forward{\tan{30^{\circ}}} = AC / \sqrt{3} \).
  17. \( AD = AC / orward{\sin{60^{\circ}}} = AC / (\sqrt{3}/2) = 2AC / \sqrt{3} \).
  18. Так как \( \angle BAC = \angle BCA = 30^{\circ} \), то \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = BC \).
  19. Периметр \( P = AB + BC + CD + AD = 2AB + CD + AD = 35 \).
  20. Пусть \( AB = BC = y \).
  21. В \( \triangle ACD \), \( CD = AC orward{\tan{30^{\circ}}} = AC / \sqrt{3} \).
  22. \( AD = AC / orward{\sin{60^{\circ}}} = AC / (\sqrt{3}/2) = 2AC / \sqrt{3} \).
  23. \( \angle BAC = 30^{\circ} \). \( AC \perp CD \). \( \angle D = 60^{\circ} \).
  24. В \( \triangle ACD \), \( AC = CD orward{\tan{30^{\circ}}} \). \( AD = CD / orward{\cos{60^{\circ}}} \).
  25. В \( \triangle ACD \), \( AC = CD orward{\tan{30^{\circ}}} = CD / \sqrt{3} \). \( AD = CD / orward{\cos{60^{\circ}}} = CD / (1/2) = 2CD \).
  26. \( AB = BC \). \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( \angle BAC = \angle BCA = 30^{\circ} \).
  27. \( CD = x \). \( AD = 2x \). \( AC = x \sqrt{3} \).
  28. \( AB = BC \). \( \angle BCA = 30^{\circ} \). \( \angle ABC = 120^{\circ} \).
  29. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AB = BC \). \( \angle BAC = 30^{\circ} \). \( \angle BCA = 30^{\circ} \). \( AB = BC \). \( AC = 2 \cdot AB orward{\sin{30^{\circ}}} = AB \).
  30. \( AC = AB \).
  31. \( AB = BC \). \( \angle BAC = 30^{\circ} \). \( \angle BCA = 30^{\circ} \). \( AC \) — гипотенуза в \( \triangle ACD \) (неверно, \( AD \) — гипотенуза). \( AC \) — катет в \( \triangle ACD \).
  32. \( AC = CD orward{\tan{30^{\circ}}} = CD / \sqrt{3} \).
  33. \( AD = CD / orward{\cos{60^{\circ}}} = 2CD \).
  34. \( AB = BC \). \( \angle BAC = 30^{\circ} \), \( \angle BCA = 30^{\circ} \). \( AC = AB \).
  35. \( AB = BC \). \( AC = AB \).
  36. \( AC = CD / \sqrt{3} \) \( \implies CD = AC \sqrt{3} \).
  37. \( AD = 2AC \).
  38. \( AB = BC \). \( AC = AB \). \( BC = AB \).
  39. \( AB = BC \). \( AC = AB \).
  40. \( AB = BC \). \( AC = AB \). \( CD = AB \sqrt{3} \). \( AD = 2AB \).
  41. Периметр \( P = AB + AB + AB \sqrt{3} + 2AB = 35 \).
  42. \( 4AB + AB \sqrt{3} = 35 \).
  43. \( AB (4 + \sqrt{3}) = 35 \).
  44. \( AB = 35 / (4 + \sqrt{3}) = 35 (4 - \sqrt{3}) / (16 - 3) = 35 (4 - \sqrt{3}) / 13 \).
  45. Перепроверим.
  46. \( AC \perp CD \), \( \angle D = 60^{\circ} \). \( AC \) — биссектриса \( \angle A \).
  47. \( \triangle ACD \): \( \angle CAD = 30^{\circ} \), \( \angle ACD = 90^{\circ} \), \( \angle D = 60^{\circ} \).
  48. \( \triangle ABC \): \( \angle BAC = 30^{\circ} \). \( \angle BCA = 30^{\circ} \) (накрест лежащие). \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = BC \).
  49. \( \angle ABC = 120^{\circ} \).
  50. Пусть \( AB = x \). Тогда \( BC = x \).
  51. В \( \triangle ABC \): \( AC = 2 orward{x} orward{\sin{30^{\circ}}} = 2x orward{\frac{1}{2}} = x \).
  52. Значит, \( AC = x \).
  53. В \( \triangle ACD \): \( AC = CD orward{\tan{30^{\circ}}} = CD / \sqrt{3} \).
  54. \( CD = AC \sqrt{3} = x \sqrt{3} \).
  55. \( AD = AC / orward{\sin{60^{\circ}}} = x / (\sqrt{3}/2) = 2x / \sqrt{3} \).
  56. Периметр \( P = AB + BC + CD + AD = x + x + x \sqrt{3} + 2x / \sqrt{3} = 35 \).
  57. \( 2x + x \sqrt{3} + 2x / \sqrt{3} = 35 \).
  58. Умножим на \( \sqrt{3} \): \( 2x \sqrt{3} + 3x + 2x = 35 \sqrt{3} \).
  59. \( x(2\sqrt{3} + 3 + 2) = 35 \sqrt{3} \).
  60. \( x(5 + 2\sqrt{3}) = 35 \sqrt{3} \).
  61. \( x = 35 \sqrt{3} / (5 + 2\sqrt{3}) = 35 \sqrt{3} (5 - 2\sqrt{3}) / (25 - 12) = 35 \sqrt{3} (5 - 2\sqrt{3}) / 13 \).
  62. \( x = (175\sqrt{3} - 210) / 13 \).
  63. Этап поиска ошибок.
  64. \( AC \perp CD \) \( \implies \angle ACD = 90^{\circ} \). \( \angle D = 60^{\circ} \) \( \implies \angle CAD = 30^{\circ} \).
  65. AC — биссектриса \( \angle A \) \( \implies \angle BAC = 30^{\circ} \).
  66. \( \angle BCA = 30^{\circ} \) (накрест лежащие).
  67. \( \triangle ABC \) равнобедренный, \( AB = BC \). \( \angle ABC = 120^{\circ} \).
  68. Пусть \( AB = BC = x \).
  69. В \( \triangle ACD \), \( AC = CD orward{\tan{30^{\circ}}} = CD / \sqrt{3} \). \( AD = CD / orward{\cos{60^{\circ}}} = 2CD \).
  70. \( AC = orward{x} \). \( BC = x \). \( \angle ACB = 30^{\circ} \).
  71. В \( \triangle ABC \) по теореме синусов: \( AC / orward{\sin{120^{\circ}}} = BC / orward{\sin{30^{\circ}}} \).
  72. \( AC / (\sqrt{3}/2) = x / (1/2) \). \( AC \cdot 2 / \sqrt{3} = 2x \). \( AC = x \sqrt{3} \).
  73. Значит, \( AC = x \sqrt{3} \).
  74. \( CD = AC \sqrt{3} = x \sqrt{3} \sqrt{3} = 3x \).
  75. \( AD = 2CD = 6x \).
  76. Периметр \( P = AB + BC + CD + AD = x + x + 3x + 6x = 11x = 35 \).
  77. \( x = 35 / 11 \).
  78. \( AB = x = 35/11 \).

Ответ: \( AB = \frac{35}{11} \) см.