В трапеции ABCD диагональ АС перпендикулярна боковой стороне CD и является биссектрисой угла А. Найдите длину АВ, если периметр трапеции равен 35 см, а угол D = 60°. (в ответ запишите только число)

Пусть ABCD - данная трапеция, AC ⊥ CD, AC - биссектриса ∠A, ∠D = 60°, P = 35 см.

Так как AC - биссектриса ∠A, то ∠BAC = ∠CAD. Так как ABCD - трапеция, то BC || AD, следовательно, ∠CAD = ∠ACB как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых BC и AD и секущей AC. Таким образом, ∠BAC = ∠BCA, следовательно, треугольник ABC равнобедренный, и AB = BC.

Проведем высоту CH к основанию AD. Рассмотрим прямоугольный треугольник CHD: ∠CHD = 90°, ∠D = 60°, следовательно, ∠HCD = 90° - 60° = 30°. Так как против угла в 30° лежит катет, равный половине гипотенузы, то HD = CD/2.

Рассмотрим треугольник ACD: ∠ACD = 90°, ∠CDA = 60°, следовательно, ∠DAC = 30°. Так как AC - биссектриса, то ∠BAC = ∠CAD = 30°. Треугольник ACD прямоугольный, а ∠CDA = 60°, следовательно, CD = AD/2.

Так как AB = BC и CD = AD/2, то P = AB + BC + CD + AD = AB + AB + AD/2 + AD = 2AB + 3AD/2 = 35 см.

Проведем высоту BK к основанию AD. Тогда AK = HD = CD/2 = AD/4. Тогда AD = AK + KH + HD = AD/4 + BC + AD/4 = AD/2 + BC.

Из этого следует, что AD/2 = BC = AB, то есть AD = 2AB.

Подставим AD = 2AB в уравнение для периметра: 2AB + 3(2AB)/2 = 2AB + 3AB = 5AB = 35. Таким образом, AB = 35/5 = 7 см.

Ответ: 7