В трапеции ABCD диагональ BD перпендикулярна боковой стороне AB и является биссектрисой угла D. Периметр трапеции ABCD равен 20 см. ∠A = 60°. Найдите длину AD.

Так как AB — боковая сторона трапеции, её основания AD и BC параллельны.

1. В треугольнике ABD угол B прямой, а угол A равен 60°. Поэтому \(\angle ADB=180^\circ-90^\circ-60^\circ=30^\circ\).

2. BD — биссектриса угла D, значит \(\angle BDC=\angle ADB=30^\circ\). Из параллельности AD и BC следует, что \(\angle DBC=30^\circ\). Тогда в треугольнике BCD углы при B и D равны, поэтому \(BC=CD\).

3. Треугольник ABD — прямоугольный с углами 30°, 60° и 90°. Пусть \(AB=x\). Тогда \(AD=2x\), \(BD=\sqrt{3}x\).

4. В треугольнике BCD углы при B и D равны 30°, поэтому \(BD=\sqrt{3}\,BC\). Сравнивая с \(BD=\sqrt{3}x\), получаем \(BC=x\), а значит, и \(CD=x\).

5. Используем периметр: \(AD+AB+BC+CD=2x+x+x+x=20\). Отсюда \(5x=20\), \(x=4\) см, поэтому \(AD=2x=8\) см.

Ответ: 8 см.