В трапеции ABCD, изображенной на рисунке, AB = 12 см, AD = 15 см, BC = 7 см, ∠ A = 30°. Найдите площадь S трапеции.

Решение:

1. Проведем высоту BH трапеции ABCD.
2. \( \triangle ABH \) — прямоугольный, \( \angle H = 90^{\circ} \) по построению, \( \angle A = 30^{\circ} \) по условию.
3. В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABH \) катет \( BH \) противолежащий углу \( A \), равен произведению гипотенузы \( AB \) на синус угла \( A \): \[ BH = AB \cdot \sin A = 12 \cdot \sin 30^{\circ} = 12 \cdot \frac{1}{2} = 6 \] см.
4. Площадь трапеции вычисляется по формуле: \[ S_{ABCD} = \frac{BC + AD}{2} \cdot BH \]
5. Подставим известные значения: \[ S_{ABCD} = \frac{7 + 15}{2} \cdot 6 = \frac{22}{2} \cdot 6 = 11 \cdot 6 = 66 \] см².

Ответ: 66 см².