В трапеции $$ABCD$$ известно, что $$AD = 11, BC = 3$$, а её площадь равна 42. Найди площадь трапеции $$BCMN$$, где $$NM$$ — средняя линия трапеции $$ABCD$$.

В трапеции $$ABCD$$ известны основания $$AD = 11$$ и $$BC = 3$$, а также площадь $$S_{ABCD} = 42$$. Необходимо найти площадь трапеции $$BCMN$$, где $$NM$$ – средняя линия трапеции $$ABCD$$.

1. Средняя линия трапеции равна полусумме её оснований. Следовательно, длина средней линии $$NM$$ трапеции $$ABCD$$ равна:

$$ NM = \frac{AD + BC}{2} = \frac{11 + 3}{2} = \frac{14}{2} = 7 $$

2. Высота трапеции $$ABCD$$ равна:

$$ S_{ABCD} = \frac{AD + BC}{2} \cdot h $$ $$ 42 = \frac{11 + 3}{2} \cdot h $$ $$ 42 = 7 \cdot h $$ $$ h = \frac{42}{7} = 6 $$

3. Так как $$NM$$ – средняя линия, то она делит высоту трапеции $$ABCD$$ пополам. Следовательно, высота трапеции $$BCMN$$ равна половине высоты трапеции $$ABCD$$:

$$ h_{BCMN} = \frac{h}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$

4. Площадь трапеции $$BCMN$$ равна:

$$ S_{BCMN} = \frac{BC + NM}{2} \cdot h_{BCMN} = \frac{3 + 7}{2} \cdot 3 = \frac{10}{2} \cdot 3 = 5 \cdot 3 = 15 $$

Ответ: 15