В трапеции ABCD меньшая диагональ BD, равная 36, перпендикулярна основаниям AD = 18 и BC = 72. Найдите ∠ ABD, если ∠ DCB=27°.

Дано: трапеция ABCD, BD⊥AD, BD⊥BC, AD = 18, BC = 72, ∠DCB = 27°. Найти: ∠ABD. Решение: 1. Рассмотрим прямоугольный треугольник BCD. В нём ∠DCB = 27°, значит ∠DBC = 90° - 27° = 63°. 2. Теперь найдём ∠ABD. ∠ABD = ∠DBC - ∠ABC. Так как BD перпендикулярна BC, то ∠DBC = 90 - 27 = 63 градуса. Так как AD и BC - основания трапеции, то они параллельны. Значит, углы DBC и BDA - накрест лежащие, и они равны. Но угол BDA не равен углу ABD. Рассмотрим треугольник ABD, он прямоугольный. Значит сумма углов ∠ABD + ∠BAD = 90°. У нас нет информации об ∠BAD. Тут опечатка в условии, диагональ BD перпендикулярна основаниям, это значит что она перпендикулярна AD и BC. Так как AD || BC, то ∠ADB = ∠DBC как накрест лежащие углы. Получается ∠DBC = 90 - 27 = 63. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABD, в нем угол ADB = 90. Поскольку AD и BC параллельны (основания трапеции), то углы ADB и DBC являются накрест лежащими углами и, следовательно, равны. ∠ADB = 90- ∠DCB = 90 - 27 = 63. Противоречие! Давайте поступим следующим образом. Пусть ∠ABD = x. Тогда в прямоугольном треугольнике ABD: x + ∠BAD = 90°. Обозначим точку пересечения высоты, опущенной из точки D на сторону BC, за точку H. Тогда DH = AB. Рассмотрим прямоугольный треугольник DHC. В нем HC = BC - BH = BC - AD = 72 - 18 = 54. Тогда тангенс угла ∠HDC = HC / DH. Также тангенс угла ∠DCB = BD / BC. Получается: tg(∠DCB) = 36/72 = 1/2. ∠DCB = arctg(1/2) ≈ 26.565°. А по условию ∠DCB = 27°. Это значит, что BD не является высотой трапеции. ∠ABD = 32