В трапеции ABCD найдите угол CAD, если известно, что AB = CD, AC = AD, ∠ABC = 106°. Ответ дайте в градусах.

Так как равны боковые стороны AB и CD, основания трапеции — AD и BC, поэтому AD ∥ BC.

1. Углы ABC и BAD — внутренние односторонние при параллельных прямых AD и BC, значит, ∠BAD = 180° − 106° = 74°.

2. Из AC = AD следует, что треугольник ACD равнобедренный с основанием CD. Так как AD ∥ BC, угол ADC равен углу ABC, то есть 106°? Нет: лучи DA и AB не параллельны, а DC и CB — тоже. Угол ADC нельзя приравнять углу ABC напрямую.

При этом условие не задаёт, какая пара противоположных сторон параллельна. Если основания AD и BC, то из равенства AB = CD получается равнобедренная трапеция, и её углы при основании AD равны: ∠DAB = ∠ADC = 74°. В треугольнике ACD имеем AC = AD, поэтому углы при основании CD равны: ∠ACD = ∠CDA = 74°. Следовательно, ∠CAD = 180° − 74° − 74° = 32°.

Ответ: 32°.