В трапеции $$ABCD$$ основание $$AD$$ в 3 раза больше основания $$BC$$. На стороне $$AD$$ отмечена точка $$O$$ так, что $$AO = \frac{4}{5}AD$$. Вырази векторы $$\vec{CO}$$, $$\vec{OD}$$ и $$\vec{BC}$$ через векторы $$\vec{a} = \vec{BA}$$ и $$\vec{b} = \vec{CD}$$:

$$\vec{CO}$$

Разложим вектор $$\vec{CO}$$ через векторы $$\vec{CA}$$ и $$\vec{AO}$$.

• $$\vec{CO} = \vec{CA} + \vec{AO}$$

Выразим $$\vec{CA}$$ через $$\vec{a}$$ и $$\vec{b}$$. Так как $$\vec{CA} = \vec{CB} + \vec{BA}$$, и $$\vec{BA} = \vec{a}$$, а также $$\vec{BC} = -\frac{1}{3}\vec{AD}$$ и $$\vec{CD} = \vec{b}$$, то:

• $$\vec{CB} = -\vec{BC} = \frac{1}{3}\vec{AD}$$
• $$\vec{AD} = -\vec{DA} = -(\vec{DC} + \vec{CA}) = -(\vec{b} + \vec{a})$$
• $$\vec{AD} = \vec{DA} = -\vec{CD} - \vec{BC} = -\vec{b} - \vec{a}$$
• $$\vec{BC} = \frac{1}{3} \vec{AD}$$, $$\vec{BC} = -\frac{1}{3}(\vec{b} + \vec{a})$$
• $$\vec{CA} = -\vec{a} - \frac{1}{3}(\vec{a} + \vec{b}) = -\frac{4}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b}$$

Теперь найдем $$\vec{AO}$$:

• $$\vec{AO} = \frac{4}{5}\vec{AD} = \frac{4}{5}(-\vec{a} - \vec{b}) = -\frac{4}{5}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b}$$

Подставим $$\vec{CA}$$ и $$\vec{AO}$$ в выражение для $$\vec{CO}$$:

• $$\vec{CO} = -\frac{4}{3}\vec{a} - \frac{1}{3}\vec{b} - \frac{4}{5}\vec{a} - \frac{4}{5}\vec{b} = -\frac{20}{15}\vec{a} - \frac{12}{15}\vec{a} - \frac{5}{15}\vec{b} - \frac{12}{15}\vec{b} = -\frac{32}{15}\vec{a} - \frac{17}{15}\vec{b}$$

$$\vec{OD}$$

Найдем $$\vec{OD}$$:

• $$\vec{OD} = \vec{AD} - \vec{AO} = \vec{AD} - \frac{4}{5}\vec{AD} = \frac{1}{5}\vec{AD}$$
• $$\vec{AD} = -\vec{a} - \vec{b}$$
• $$\vec{OD} = \frac{1}{5}(-\vec{a} - \vec{b}) = -\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}$$

Ответ: \[\vec{CO} = -\frac{32}{15}\vec{a} - \frac{17}{15}\vec{b}; \quad \vec{OD} = -\frac{1}{5}\vec{a} - \frac{1}{5}\vec{b}\]